Partindo de
e
, com
, busque obter um zero para
usando o método Secante. Qual foi o
encontrado?
Passo 1
O enunciado pede: partir de
e
, com
, encontrar um zero da função
usando o método da Secante. O que precisamos devolver é o
encontrado (a aproximação do zero) quando o critério de parada for satisfeito.
Dados fornecidos:
-
. -
. -
. -
.
Pergunta: qual foi o
(valor aproximado da raiz) obtido pelo método da Secante com esses dados e essa
?
Passo 2
O que é o método da Secante e qual critério de parada vou usar (explicação didática).
- Ideia: a Secante tenta aproximar a raiz de
substituindo a derivada por uma razão de diferenças entre dois pontos; é uma versão do método de Newton que não precisa de . - Fórmula iterativa (seja
e as duas últimas aproximações):
Explicando cada termo:
é o valor da função na aproximação atual; a fração
é a inclinação (razão de diferenças) da secante que liga
a
. Subtrai-se o produto
pela inclinação para achar a interseção da secante com o eixo
.
- Critério de parada escolhido: vou usar
com . Esse critério diz que a iteração já está suficientemente estacionária para a precisão exigida. (É um critério comum em provas; poderia também usar , mas escolho a diferença entre sucessivos (,x,$ porque é simples de aplicar e adequado aqui.)
Agora vamos iterar passo a passo, sempre mostrando os cálculos de
e da fórmula da Secante.)
Passo 3
Calculando os valores iniciais de
:
- Para
:
Aproximação numérica (usei valor de
):
- Para
:
Observação: peguei
(valor em radianos). Como
está muito próximo de
, tem-se
. Portanto
Resumo inicial:
Passo 4
Primeira iteração: cálculo de
pela fórmula da Secante usando
e
.
Substituindo números:
Calculemos passo a passo:
Logo
Passo 5
Calcular
:
Como
, tem-se
e
. Portanto
Arredondando:
Verificação do critério:
. Continua.
Passo 6
Segunda iteração: calcular
usando
e
:
Substituindo:
Então
Passo 7
Calcular
:
Verificação do critério:
. Continua.
Passo 8
Terceira iteração: calcular
usando
e
:
Substituindo os valores:
Passo 9
Calcular
:
Arredondando:
Verificação do critério:
. Continua.
Passo 10
Quarta iteração: calcular
usando
e
:
Cálculos:
Passo 11
Calcular
:
Verificação do critério:
. Continua.
Passo 12
Quinta iteração: calcular
usando
e
:
Cálculos:
Passo 13
Calcular
:
Arredondando:
Verificação do critério:
. Continua.
Passo 14
Sexta iteração: calcular
usando
e
:
Cálculos:
Passo 15
Calcular
e verificar critério de parada:
Verificação do critério escolhido:
Portanto a condição
foi satisfeita em
(obtendo
). Concluímos a iteração e aceitamos
como a aproximação da raiz com a precisão pedida.