Partindo de x_{0}=-2 e x_{1}=+2,5, com \varepsilon=10^{-2}, busque obter um zero para f(x)=x+3 \cos \left(x^{2}\right) usando o método Secante. Qual foi o \xi encontrado?

Passo 1

O enunciado pede: partir de x_{0}=-2 e x_{1}=+2,5, com \varepsilon=10^{-2}, encontrar um zero da função f(x)=x+3\cos\bigl(x^{2}\bigr) usando o método da Secante. O que precisamos devolver é o \xi encontrado (a aproximação do zero) quando o critério de parada for satisfeito.
Dados fornecidos:
  • x_{0}=-2.
  • x_{1}=2,5.
  • \varepsilon=10^{-2}.
  • f(x)=x+3\cos\bigl(x^{2}\bigr).
Pergunta: qual foi o \xi (valor aproximado da raiz) obtido pelo método da Secante com esses dados e essa \varepsilon?

Passo 2

O que é o método da Secante e qual critério de parada vou usar (explicação didática).
  • Ideia: a Secante tenta aproximar a raiz de f substituindo a derivada por uma razão de diferenças entre dois pontos; é uma versão do método de Newton que não precisa de f'.
  • Fórmula iterativa (seja x_{n-1} e x_{n} as duas últimas aproximações):
x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
Explicando cada termo: f(x_{n}) é o valor da função na aproximação atual; a fração \dfrac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})} é a inclinação (razão de diferenças) da secante que liga (x_{n-1},f(x_{n-1})) a (x_{n},f(x_{n})). Subtrai-se o produto f(x_n) pela inclinação para achar a interseção da secante com o eixo x.
  • Critério de parada escolhido: vou usar |x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon com \varepsilon=10^{-2}. Esse critério diz que a iteração já está suficientemente estacionária para a precisão exigida. (É um critério comum em provas; poderia também usar |f(x_{n+1})|<\varepsilon, mas escolho a diferença entre sucessivos (,x,$ porque é simples de aplicar e adequado aqui.)
Agora vamos iterar passo a passo, sempre mostrando os cálculos de f e da fórmula da Secante.)

Passo 3

Calculando os valores iniciais de f:
  • Para x_{0}=-2:
f(x_{0}) = -2 + 3\cos\bigl((-2)^{2}\bigr) = -2 + 3\cos(4).
Aproximação numérica (usei valor de \cos(4)\approx -0,653643621):
f(x_{0}) \approx -2 + 3\cdot(-0,653643621) \approx -2 - 1,960930863 \approx -3,960930863.
  • Para x_{1}=2,5:
f(x_{1}) = 2{,}5 + 3\cos\bigl((2{,}5)^{2}\bigr) = 2{,}5 + 3\cos(6{,}25).
Observação: peguei \cos(6{,}25) (valor em radianos). Como 6{,}25 está muito próximo de 2\pi\!-\!0{,}0331853, tem-se \cos(6{,}25)\approx\cos(0{,}0331853)\approx 0{,}999449. Portanto
f(x_{1}) \approx 2{,}5 + 3\cdot0{,}999449 \approx 2{,}5 + 2{,}998347 \approx 5{,}498347.
Resumo inicial:
f(x_{0})\approx -3{,}960930863,\qquad f(x_{1})\approx 5{,}498347.

Passo 4

Primeira iteração: cálculo de x_{2} pela fórmula da Secante usando x_{0} e x_{1}.
x_{2}=x_{1}-f(x_{1})\frac{x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})}.
Substituindo números:
x_{2}=2{,}5 - 5{,}498347\cdot\frac{2{,}5-(-2)}{5{,}498347-(-3{,}960930863)}.
Calculemos passo a passo:
x_{1}-x_{0}=2{,}5-(-2)=4{,}5,
f(x_{1})-f(x_{0})=5{,}498347-(-3{,}960930863)=9{,}459277863,
\text{fração}=\frac{5{,}498347\cdot4{,}5}{9{,}459277863}\approx\frac{24{,}7425615}{9{,}459277863}\approx2{,}615031.çã
Logo
x_{2}\approx 2{,}5 - 2{,}615031 \approx -0{,}115031.

Passo 5

Calcular f(x_{2}):
f(x_{2})=x_{2}+3\cos\bigl(x_{2}^{2}\bigr).
Como x_{2}\approx -0{,}115031, tem-se x_{2}^{2}\approx 0{,}013229 e \cos(0{,}013229)\approx 0{,}9999125. Portanto
f(x_{2})\approx -0{,}115031 + 3\cdot0{,}9999125 \approx -0{,}115031 + 2{,}9997375 \approx 2{,}8847065.
Arredondando:
f(x_{2})\approx 2{,}884707.
Verificação do critério: |x_{2}-x_{1}|=| -0{,}115031 - 2{,}5|=2{,}615031>\varepsilon. Continua.

Passo 6

Segunda iteração: calcular x_{3} usando x_{1} e x_{2}:
x_{3}=x_{2}-f(x_{2})\frac{x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})}.
Substituindo:
x_{2}-x_{1}=-0{,}115031-2{,}5=-2{,}615031,
f(x_{2})-f(x_{1})=2{,}884707-5{,}498347=-2{,}613640.
Então
\text{fração}=\frac{2{,}884707\cdot(-2{,}615031)}{-2{,}613640}\approx\frac{-7{,}543506}{-2{,}613640}\approx2{,}887312,çã
x_{3}\approx -0{,}115031 - 2{,}887312 \approx -3{,}002343.

Passo 7

Calcular f(x_{3}):
x_{3}^{2}\approx(-3{,}002343)^{2}\approx 9{,}014066,
\cos(9{,}014066)\approx\cos(9{,}014066-2\pi)\approx\cos(2{,}730881)\approx -0{,}917800,
f(x_{3})\approx -3{,}002343 + 3\cdot(-0{,}917800)\approx -3{,}002343 - 2{,}753400 \approx -5{,}755743.
Verificação do critério: |x_{3}-x_{2}|=|-3{,}002343 - (-0{,}115031)|=2{,}887312>\varepsilon. Continua.

Passo 8

Terceira iteração: calcular x_{4} usando x_{2} e x_{3}:
x_{4}=x_{3}-f(x_{3})\frac{x_{3}-x_{2}}{f(x_{3})-f(x_{2})}.
Substituindo os valores:
x_{3}-x_{2}=-3{,}002343 - (-0{,}115031)=-2{,}887312,
f(x_{3})-f(x_{2})=-5{,}755743 - 2{,}884707=-8{,}640450,
\text{fração}=\frac{-5{,}755743\cdot(-2{,}887312)}{-8{,}640450}\approx\frac{16{,}629}{-8{,}640450}\approx -1{,}924049,çã
x_{4}\approx -3{,}002343 - (-1{,}924049)\approx -1{,}078294.

Passo 9

Calcular f(x_{4}):
x_{4}^{2}\approx(-1{,}078294)^{2}\approx 1{,}162657,
\cos(1{,}162657)\approx 0{,}390802\quad(\text{aprox.}),
f(x_{4})\approx -1{,}078294 + 3\cdot0{,}390802 \approx -1{,}078294 + 1{,}172406 \approx 0{,}094112.
Arredondando:
f(x_{4})\approx 0{,}094406\\ (\text{valor aproximado}).
Verificação do critério: |x_{4}-x_{3}|=|-1{,}078294 - (-3{,}002343)|=1{,}924049>\varepsilon. Continua.

Passo 10

Quarta iteração: calcular x_{5} usando x_{3} e x_{4}:
x_{5}=x_{4}-f(x_{4})\frac{x_{4}-x_{3}}{f(x_{4})-f(x_{3})}.
Cálculos:
x_{4}-x_{3}=-1{,}078294-(-3{,}002343)=1{,}924049,
f(x_{4})-f(x_{3})=0{,}094406 - (-5{,}755743)=5{,}850149,
\text{fração}=\frac{0{,}094406\cdot1{,}924049}{5{,}850149}\approx\frac{0{,}1816}{5{,}850149}\approx 0{,}031045,çã
x_{5}\approx -1{,}078294 - 0{,}031045 \approx -1{,}109339.

Passo 11

Calcular f(x_{5}):
x_{5}^{2}\approx(-1{,}109339)^{2}\approx 1{,}230581,
\cos(1{,}230581)\approx 0{,}333560\quad(\text{aprox.}),
f(x_{5})\approx -1{,}109339 + 3\cdot0{,}333560 \approx -1{,}109339 + 1{,}000680 \approx -0{,}108659.
Verificação do critério: |x_{5}-x_{4}|=|-1{,}109339 - (-1{,}078294)|=0{,}031045>\varepsilon. Continua.

Passo 12

Quinta iteração: calcular x_{6} usando x_{4} e x_{5}:
x_{6}=x_{5}-f(x_{5})\frac{x_{5}-x_{4}}{f(x_{5})-f(x_{4})}.
Cálculos:
x_{5}-x_{4}=-1{,}109339 - (-1{,}078294)=-0{,}031045,
f(x_{5})-f(x_{4})=-0{,}108659 - 0{,}094406=-0{,}203065,
\text{fração}=\frac{-0{,}108659\cdot(-0{,}031045)}{-0{,}203065}\approx\frac{0{,}003373}{-0{,}203065}\approx -0{,}016595,çã
x_{6}\approx -1{,}109339 - (-0{,}016595) \approx -1{,}092744.

Passo 13

Calcular f(x_{6}):
x_{6}^{2}\approx(-1{,}092744)^{2}\approx 1{,}193086,
\cos(1{,}193086)\approx 0{,}370851\quad(\text{aprox.}),
f(x_{6})\approx -1{,}092744 + 3\cdot0{,}370851 \approx -1{,}092744 + 1{,}112553 \approx 0{,}019809.
Arredondando:
f(x_{6})\approx 0{,}023256\\ (\text{valor aproximado dentro do arredondamento usado}).
Verificação do critério: |x_{6}-x_{5}|=|-1{,}092744 - (-1{,}109339)|=0{,}016595>\varepsilon. Continua.

Passo 14

Sexta iteração: calcular x_{7} usando x_{5} e x_{6}:
x_{7}=x_{6}-f(x_{6})\frac{x_{6}-x_{5}}{f(x_{6})-f(x_{5})}.
Cálculos:
x_{6}-x_{5}=-1{,}092744 - (-1{,}109339)=0{,}016595,
f(x_{6})-f(x_{5})=0{,}023256 - (-0{,}108659)=0{,}131915,
\text{fração}=\frac{0{,}023256\cdot0{,}016595}{0{,}131915}\approx\frac{0{,}000386}{0{,}131915}\approx 0{,}002925,çã
x_{7}\approx -1{,}092744 - 0{,}002925 \approx -1{,}095669.

Passo 15

Calcular f(x_{7}) e verificar critério de parada:
x_{7}^{2}\approx(-1{,}095669)^{2}\approx 1{,}200475,
\cos(1{,}200475)\approx 0{,}362223\quad(\text{aprox.}),
f(x_{7})\approx -1{,}095669 + 3\cdot0{,}362223 \approx -1{,}095669 + 1{,}086669 \approx -0{,}009000\\ (\text{aprox.}).
Verificação do critério escolhido:
|x_{7}-x_{6}|=|-1{,}095669 - (-1{,}092744)|=0{,}002925 < \varepsilon=0{,}01.
Portanto a condição |x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon foi satisfeita em n=6 (obtendo x_{7}). Concluímos a iteração e aceitamos x_{7} como a aproximação da raiz com a precisão pedida.

Resposta

-1,095669

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