[3 pontos: SED7]. Para o campo de velocidade \vec{V}=0,01 \mathrm{xi}-0,01 \mathrm{yj} com a velocidade em metros por segundo, solicita-se: considerando que no instante t=0 uma partícula passa no ponto ( x_{0}=1 ; y_{0}=3 ) determine a aceleração da partícula após 10 segundos.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade e uma condição inicial para uma partícula. O que pede: determinar a aceleração da partícula após 10 segundos. Informações fornecidas:
  • Campo de velocidade: \vec{V}=0,01\,x\,\mathbf{i}-0,01\,y\,\mathbf{j}, com velocidade em metros por segundo.
  • Condição inicial no instante t=0: x_{0}=1 e y_{0}=3.
  • Instante onde queremos a aceleração: t=10\\ \text{s}.

Passo 2

Entendendo o que é “aceleração da partícula” no contexto de um campo de velocidade: quando uma partícula se move num campo de velocidade \vec{V}(x,y,t), sua aceleração é a derivada total (material) da velocidade ao longo da trajetória da partícula. Escrevemos:
\vec{a}=\frac{D\vec{V}}{Dt}=\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}+(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
Aqui:
  • \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} é a variação da velocidade no tempo num ponto fixo do espaço (derivada parcial).
  • (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} é a parte convectiva, que leva em conta que a partícula se desloca para regiões onde o campo pode ser diferente.
    No nosso caso o campo \vec{V} não depende explicitamente de t, logo \frac{\partial \vec{V}}{\partial t}=\vec{0} e
\vec{a}=(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.

Passo 3

Calcular (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} em componentes. Escrevemos
(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}=\Big(V_x\frac{\partial}{\partial x}+V_y\frac{\partial}{\partial y}\Big)\big(V_x\mathbf{i}+V_y\mathbf{j}\big).
No nosso campo temos V_x=0,01\,x e V_y=-0,01\,y. Calculamos as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial V_x}{\partial x}=0,01,\qquad \frac{\partial V_x}{\partial y}=0,
\frac{\partial V_y}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial V_y}{\partial y}=-0,01.
Agora as componentes da aceleração convectiva:
a_x=V_x\frac{\partial V_x}{\partial x}+V_y\frac{\partial V_x}{\partial y}=V_x\cdot 0,01 + V_y\cdot 0 =0,01\,V_x,
a_y=V_x\frac{\partial V_y}{\partial x}+V_y\frac{\partial V_y}{\partial y}=V_x\cdot 0 + V_y\cdot(-0,01)=-0,01\,V_y.
Substituindo V_x=0,01\,x e V_y=-0,01\,y obtemos:
a_x=0,01\cdot(0,01\,x)=0,0001\,x,
a_y=-0,01\cdot(-0,01\,y)=0,0001\,y.
Portanto, em qualquer ponto (x,y) do campo a aceleração é
\vec{a}(x,y)=0,0001\,x\,\mathbf{i}+0,0001\,y\,\mathbf{j}.

Passo 4

A aceleração da partícula no instante t=10 deve ser avaliada no ponto onde a partícula está nesse instante, ou seja, precisamos da trajetória (x(t),y(t)) com condições iniciais dadas. As equações da trajetória são as equações diferenciais ordinárias:
\frac{dx}{dt}=V_x=0,01\,x,\qquad \frac{dy}{dt}=V_y=-0,01\,y.
Estas são equações separáveis / lineares de primeira ordem. Resolvendo:
Para x:
\frac{dx}{dt}=0,01\,x\quad\Rightarrow\quad \frac{dx}{x}=0,01\,dt.
Integramos de 0 a t:
\ln\!\big(\tfrac{x(t)}{x_0}\big)=0,01\,t \quad\Rightarrow\quad x(t)=x_0\,e^{0,01\,t}.
Com x_0=1 temos
x(t)=e^{0,01\,t}.
Para y:
\frac{dy}{dt}=-0,01\,y\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{y}=-0,01\,dt,
\ln\!\big(\tfrac{y(t)}{y_0}\big)=-0,01\,t \quad\Rightarrow\quad y(t)=y_0\,e^{-0,01\,t}.
Com y_0=3 temos
y(t)=3\,e^{-0,01\,t}.

Passo 5

Avaliar (x,y) em t=10\\ \text{s}:
x(10)=e^{0,01\cdot 10}=e^{0,1},
y(10)=3\,e^{-0,01\cdot 10}=3\,e^{-0,1}.
Agora usamos a expressão da aceleração em função de x e y:
\vec{a}(t)=0,0001\,x(t)\,\mathbf{i}+0,0001\,y(t)\,\mathbf{j}.
Logo em t=10:
\vec{a}(10)=0,0001\,e^{0,1}\,\mathbf{i}+0,0001\cdot 3\,e^{-0,1}\,\mathbf{j}.
Podemos também dar aproximações numéricas. Sabendo e^{0,1}\approx 1,105170918 e e^{-0,1}\approx 0,904837418, temos
a_x(10)=0,0001\cdot 1,105170918\approx 0,0001105171\\ \text{m/s}^2,
a_y(10)=0,0001\cdot 3\cdot 0,904837418 \approx 0,0002714512\\ \text{m/s}^2.

Passo 6

Resumo físico rápido (para te animar): a aceleração aqui cresce proporcialmente às coordenadas x e y. Como x cresceu (pois x cresce exponencialmente) e y decresceu, ambos os componentes da aceleração são positivos no instante considerado (note que V_y é negativo, mas o produto que aparece na aceleração torna a_y positivo). Moleza depois de cortar em passos, tá indo bem!

Resposta

\displaystyle \vec{a}(10)=0,0001\,e^{0,1}\,\mathbf{i}+0,0003\,e^{-0,1}\,\mathbf{j}\\ \text{m/s}^2
\displaystyle \vec{a}(10)\approx(1,10517\times10^{-4})\,\mathbf{i}+(2,71451\times10^{-4})\,\mathbf{j}\\ \text{m/s}^2

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