[3 pontos: SED7]. Para o campo de velocidade
com a velocidade em metros por segundo, solicita-se: considerando que no instante
uma partícula passa no ponto (
) determine a aceleração da partícula após 10 segundos.
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade e uma condição inicial para uma partícula. O que pede: determinar a aceleração da partícula após 10 segundos. Informações fornecidas:
- Campo de velocidade:
, com velocidade em metros por segundo. - Condição inicial no instante
: e . - Instante onde queremos a aceleração:
.
Passo 2
Entendendo o que é “aceleração da partícula” no contexto de um campo de velocidade: quando uma partícula se move num campo de velocidade
, sua aceleração é a derivada total (material) da velocidade ao longo da trajetória da partícula. Escrevemos:
Aqui:
-
é a variação da velocidade no tempo num ponto fixo do espaço (derivada parcial). -
é a parte convectiva, que leva em conta que a partícula se desloca para regiões onde o campo pode ser diferente.
No nosso caso o camponão depende explicitamente de , logo e
Passo 3
Calcular
em componentes. Escrevemos
No nosso campo temos
e
. Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Agora as componentes da aceleração convectiva:
Substituindo
e
obtemos:
Portanto, em qualquer ponto
do campo a aceleração é
Passo 4
A aceleração da partícula no instante
deve ser avaliada no ponto onde a partícula está nesse instante, ou seja, precisamos da trajetória
com condições iniciais dadas. As equações da trajetória são as equações diferenciais ordinárias:
Estas são equações separáveis / lineares de primeira ordem. Resolvendo:
Para :
Para
Integramos de
a
:
Com
temos
Para
:
Com
temos
Passo 5
Avaliar
em
:
Agora usamos a expressão da aceleração em função de
e
:
Logo em
:
Podemos também dar aproximações numéricas. Sabendo
e
, temos
Passo 6
Resumo físico rápido (para te animar): a aceleração aqui cresce proporcialmente às coordenadas
e
. Como
cresceu (pois
cresce exponencialmente) e
decresceu, ambos os componentes da aceleração são positivos no instante considerado (note que
é negativo, mas o produto que aparece na aceleração torna
positivo). Moleza depois de cortar em passos, tá indo bem!