2^{\text {a }} Questão ( 3,0 pontos):
A jusante de um vertedor observa-se a ocorrência de um ressalto em um canal com largura de 60 m . Sabendo-se que a vazão é de 300 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} e que a profundidade inicial do ressalto é de 0,70 \mathrm{~m}, pede-se calcular: a) a profundidade a jusante; b) a altura do ressalto; c) o comprimento aproximado do ressalto; d) a energia dissipada no ressalto.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede quatro coisas. Dados fornecidos:
\text{largura do canal } b = 60\\ \mathrm{m}
\text{vazão } Q = 300\\ \mathrm{m^3/s}ã
\text{profundidade inicial do ressalto (antes do salto) } y_1 = 0{,}70\\ \mathrm{m}
Perguntas:
a) calcular a profundidade a jusante do ressalto (ou seja, a profundidade conjugada y_2);\n
b) calcular a altura do ressalto \Delta y = y_2 - y_1;\n
c) estimar o comprimento aproximado do ressalto L_j;\n
d) calcular a energia dissipada no ressalto (perda de energia específica \Delta E, em metros de coluna d’água).

Passo 2

Primeiro passo prático: convertemos a vazão total Q em vazão por unidade de largura q, que é muito útil em canais retangulares. A definição é
q=\frac{Q}{b},
onde q tem unidades de \mathrm{m^2/s}. Substituindo:
q=\frac{300}{60}=5{,}0\\ \mathrm{m^2/s}.
Explicação rápida: q é a área de escoamento por segundo por cada metro de largura do canal — facilita trabalhar com velocidade e números adimensionais.

Passo 3

Calcular a velocidade média antes do ressalto V_1 e o número de Froude Fr_1. A velocidade média em regime uniforme é
V_1=\frac{q}{y_1}.
Substituindo,
V_1=\frac{5{,}0}{0{,}70}=7{,}142857\\ \mathrm{m/s}.
O número de Froude representa a razão entre a inércia e a gravidade e é dado por
Fr_1=\frac{V_1}{\sqrt{g\,y_1}},
onde g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. Calculando:
\sqrt{g\,y_1}=\sqrt{9{,}81\cdot 0{,}70}=\sqrt{6{,}867}=2{,}621\\ \mathrm{m/s}\\ (\text{aprox.}),
Fr_1=\frac{7{,}142857}{2{,}621}\approx 2{,}725.
Interpretação: Fr_1>1 indica escoamento supercrítico antes do ressalto (condição típica para ocorrer um ressalto hidráulico).

Passo 4

Encontrar a profundidade conjugada y_2. Para um canal retangular as profundidades conjugadas (antes e depois do salto) satisfazem a conservação do momento (momento específico por unidade de largura). A função momento por unidade de largura é
M(y)=y+\frac{q^2}{g\,y}.
As profundidades conjugadas verificam M(y_1)=M(y_2). Fazendo M(y_1)=M(y_2) e manipulando algébrica e convenientemente (dividindo por y_1 e definindo r=y_2/y_1) chega-se à fórmula conhecida e prática:
\frac{y_2}{y_1}=\frac{1}{2}\Big(\sqrt{1+8\,Fr_1^2}-1\Big).
Aqui Fr_1 é o número de Froude calculado no passo anterior. Agora calculamos numericamente:
1+8\,Fr_1^2=1+8\cdot(2{,}725)^2\approx 1+8\cdot 7{,}427\approx 60{,}42,
\sqrt{1+8\,Fr_1^2}\approx\sqrt{60{,}42}\approx 7{,}772,
\frac{y_2}{y_1}=\frac{1}{2}(7{,}772-1)=3{,}386.
Portanto
y_2=y_1\cdot 3{,}386=0{,}70\cdot 3{,}386\approx 2{,}37\\ \mathrm{m}.
Explicação: essa fórmula vem da igualdade do momento (não é conservação de energia — o salto dissipa energia — mas o momento entre seções justapostas é conservado para o controle do salto).

Passo 5

Altura do ressalto \Delta y é simplesmente a diferença entre as profundidades após e antes:
\Delta y = y_2 - y_1 = 2{,}37 - 0{,}70 = 1{,}67\\ \mathrm{m}.
Interpretação simples: a água “encolhe” de profundidade 0{,}70 para 2{,}37, o salto eleva a coluna de água em 1{,}67\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Estimativa do comprimento do ressalto L_j. Não existe uma fórmula exata: o comprimento é empírico e depende de rugosidade, barra de dissipação, etc. Uma aproximação prática muito usada em problemas didáticos é
L_j \approx 6\,(y_1+y_2).
Obs.: essa relação é empírica e serve para obter uma ordem de grandeza; alguns autores usam fatores entre 4 e 7 dependendo da definição do início/fim do salto. Aplicando:
y_1+y_2=0{,}70+2{,}37=3{,}07\\ \mathrm{m},
L_j \approx 6\cdot 3{,}07\approx 18{,}4\\ \mathrm{m}.
Portanto o salto ocupa aproximadamente 18{,}4\\ \mathrm{m} de comprimento no canal segundo essa estimativa.

Passo 7

Energia específica antes e depois do ressalto e energia dissipada. A energia específica (ou altura de energia) por unidade de peso é
E(y)=y+\frac{V^2}{2g}.
Como V=q/y, podemos escrever
E(y)=y+\frac{q^2}{2g\,y^2}.
Calculamos E_1 para y_1 e E_2 para y_2.
Para y_1=0{,}70\\ \mathrm{m}:
\frac{q^2}{2g\,y_1^2}=\frac{25}{2\cdot 9{,}81\cdot (0{,}70)^2} =\frac{25}{19{,}62\cdot 0{,}49} =\frac{25}{9{,}6138}\approx 2{,}599\\ \mathrm{m},
E_1=y_1+\frac{q^2}{2g\,y_1^2}=0{,}70+2{,}599\approx 3{,}299\\ \mathrm{m}.
Para y_2=2{,}37\\ \mathrm{m}:
\frac{q^2}{2g\,y_2^2}=\frac{25}{2\cdot 9{,}81\cdot (2{,}37)^2} =\frac{25}{19{,}62\cdot 5{,}617}\approx\frac{25}{110{,}20}\approx 0{,}227\\ \mathrm{m},
E_2=y_2+\frac{q^2}{2g\,y_2^2}=2{,}37+0{,}227\approx 2{,}597\\ \mathrm{m}.
A energia dissipada (perda de energia específica) é
\Delta E = E_1 - E_2 \approx 3{,}299 - 2{,}597 = 0{,}702\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Checagem alternativa: existe também uma fórmula direta para a perda de energia em um ressalto:
\Delta E = \frac{(y_2-y_1)^3}{4\,y_1\,y_2}.
Vamos verificar com nossos números:
(y_2-y_1)^3=(1{,}67)^3\approx 4{,}659,
4\,y_1\,y_2=4\cdot 0{,}70\cdot 2{,}37\approx 6{,}638,
\Delta E \approx \frac{4{,}659}{6{,}638}\approx 0{,}702\\ \mathrm{m},
o que confirma o valor obtido pela diferença das energias específicas. Ótimo — consistência numérica.

Resposta

Profundidade a jusante y_2\approx 2{,}37\\ \mathrm{m}\n
Altura do ressalto \Delta y\approx 1{,}67\\ \mathrm{m}\n
Comprimento aproximado do ressalto L_j\approx 18{,}4\\ \mathrm{m}\n
Energia dissipada no ressalto \Delta E\approx 0{,}702\\ \mathrm{m}

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