[3] (2.0 ptos) A superfície do parabolóide hiperbólico z=x^{2}-y^{2} é um modelo de montanha para esquiar. Se um esquiador desliza pela superfícic sempre na dirção de maior declive ( assuma que só a ação gravitacional atual sobre ele), e ele parte do ponto ( I, L, Q ), em que ponto ele tocará o plano z=0 ?
Dica: Use o Teorema de máxima variação da derivada direcional.

Passo 1

O enunciado dá a superfície z=f(x,y)=x^2-y^2 e diz que o esquiador desliza sempre na direção de maior declive (isto é, na direção de -\nabla f), partindo de (I,L,Q) com Q=I^2-L^2. Precisamos achar a curva que ele percorre e determinar onde ela atinge o plano z=0.

Passo 2

A direção de maior declive de f no plano xy é o vetor -\nabla f. Primeiro calculamos
\nabla f(x,y)=(f_x,\,f_y)=(2x,\,-2y).
Logo a velocidade do esquiador projetada no plano xy satisfaz o sistema
\frac{dx}{dt}=-2x, \qquad \frac{dy}{dt}=2y.

Passo 3

Resolvendo separação de variáveis para cada equação, com condições iniciais x(0)=I e y(0)=L, obtemos
x(t)=I\,e^{-2t}, \qquad y(t)=L\,e^{2t}.

Passo 4

Ele atinge z=0 quando
z(t)=x(t)^2-y(t)^2=0 \quad\Longrightarrow\quad I^2e^{-4t}=L^2e^{4t} \quad\Longrightarrow\quad e^{8t}=\frac{I^2}{L^2} \quad\Longrightarrow\quad t^*=\frac{1}{4}\ln\!\biggl|\frac{I}{L}\biggr|.

Passo 5

Substituindo t^* em x(t) e y(t)
x^*=I\,e^{-2t^*} =I\exp\!\Bigl(-\tfrac12\ln\bigl|I/L\bigr|\Bigr) =\sign(I)\sqrt{\bigl|I\,L\bigr|},
y^*=L\,e^{2t^*} =L\exp\!\Bigl(\tfrac12\ln\bigl|I/L\bigr|\Bigr) =\sign(L)\sqrt{\bigl|I\,L\bigr|}.
Como neste instante z=0, o ponto buscado é \bigl(x^*,y^*,0\bigr).

Resposta

\bigl(x,y,z\bigr) =\bigl(\sign(I)\sqrt{|I\,L|},\;\sign(L)\sqrt{|I\,L|},\;0\bigr).

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