[3] (2.0 ptos) A superfície do parabolóide hiperbólico z=x^{2}-y^{2} é um modelo de montanha para esquiar. Se um esquiador desliza pela superfícic sempre na dirção de maior declive ( assuma que só a ação gravitacional atual sobre ele), e ele parte do ponto ( I, L, Q ), em que ponto ele tocará o plano z=0 ?
Dica: Use o Teorema de máxima variação da derivada direcional.
Passo 1
O enunciado dá a superfície z=f(x,y)=x^2-y^2 e diz que o esquiador desliza sempre na direção de maior declive (isto é, na direção de -\nabla f), partindo de (I,L,Q) com Q=I^2-L^2. Precisamos achar a curva que ele percorre e determinar onde ela atinge o plano z=0.
Passo 2
A direção de maior declive de f no plano xy é o vetor -\nabla f. Primeiro calculamos
\nabla f(x,y)=(f_x,\,f_y)=(2x,\,-2y).
Logo a velocidade do esquiador projetada no plano xy satisfaz o sistema
\frac{dx}{dt}=-2x, \qquad \frac{dy}{dt}=2y.
Passo 3
Resolvendo separação de variáveis para cada equação, com condições iniciais x(0)=I e y(0)=L, obtemos