[1] (2.0 ptos) Classifique, caso existam, os pontos críticos da função f(x, y)=x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}},
definida em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
Conteúdo: cálculo de gradiente, solução de \nabla f=0 e classificação via segunda derivada (Hessiana) ou argumento em coordenadas polares.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais. Como denotamos r^{2}=x^{2}+y^{2},
\frac{\partial f}{\partial x} =2x - \frac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =2x\Bigl(1-\frac{1}{r^{4}}\Bigr),
\frac{\partial f}{\partial y} =2y - \frac{2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =2y\Bigl(1-\frac{1}{r^{4}}\Bigr).
Para anular ambas, ou x=0 e y=0 (impossível no domínio), ou
1-\frac{1}{r^{4}}=0 \quad\Longrightarrow\quad r^{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad r^{2}=1.

Passo 3

Concluímos que os pontos críticos satisfazem
x^{2}+y^{2}=1.
Isto é, toda a circunferência de raio 1 em \mathbb{R}^{2}.

Passo 4

Para classificar, note que em coordenadas polares f depende só de r:
f(r)=r^{2}+\frac{1}{r^{2}}.
A derivada radial é
f'(r)=2r-2r^{-3},
com f'(1)=0, e a segunda derivada
f''(r)=2+6r^{-4},
de modo que f''(1)=8>0. Isso mostra mínimo em direção radial.
No sentido tangencial f é constante (derivada nula), de modo que o Hessiano em cada ponto crítico tem um autovalor positivo (radial) e um nulo (tangencial). Portanto são mínimos degenerados.

Resposta

Os pontos críticos existem e formam a circunferência
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\},
em cada um deles f atinge um mínimo local (e global) degenerado.

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