[1] (2.0 ptos) Classifique, caso existam, os pontos críticos da função
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
definida em
.
Conteúdo: cálculo de gradiente, solução de e classificação via segunda derivada (Hessiana) ou argumento em coordenadas polares.
Conteúdo: cálculo de gradiente, solução de
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais. Como denotamos
,
Para anular ambas, ou
e
(impossível no domínio), ou
Passo 3
Concluímos que os pontos críticos satisfazem
Isto é, toda a circunferência de raio 1 em
.
Passo 4
Para classificar, note que em coordenadas polares
depende só de
:
A derivada radial é
com
, e a segunda derivada
de modo que
. Isso mostra mínimo em direção radial.
No sentido tangencial é constante (derivada nula), de modo que o Hessiano em cada ponto crítico tem um autovalor positivo (radial) e um nulo (tangencial). Portanto são mínimos degenerados.
No sentido tangencial
Resposta
Os pontos críticos existem e formam a circunferência
em cada um deles
atinge um mínimo local (e global) degenerado.