Resolva o problema de valor inicial
y^{\prime \prime}+x\left(y^{\prime}\right)^{2}=0 ; y(1)=4, y^{\prime}(1)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + x\,(y')^2 = 0,\quad y(1)=4,\;y'(1)=2.
Aqui vamos usar a técnica de redução de ordem: definimos p(x)=y'(x), o que transforma a EDO de segunda ordem numa EDO de primeira ordem para p.

Passo 2

Substituindo p=y' temos
p' = y''
e a equação fica
p' + x\,p^2 = 0.
Essa é uma EDO de primeira ordem separável em p e x.

Passo 3

Separamos variáveis:
\frac{dp}{dx} = -\,x\,p^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dp}{p^2} = -\,x\,dx.
Agora integramos dos dois lados.

Passo 4

Integrais:
\int p^{-2}\,dp = \int -x\,dx
\,-\,p^{-1} = -\,\frac{x^2}{2} + C_1
Multiplicando por -1:
\frac{1}{p} = \frac{x^2}{2} + C_1.

Passo 5

Voltando a p=y', temos
y' = p = \frac{1}{\displaystyle \frac{x^2}{2}+C_1}.
Usamos a condição y'(1)=2:
\frac{1}{\frac{1^2}{2}+C_1} = 2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\tfrac12 + C_1} = 2 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac12 + C_1 = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = 0.
Logo
\;y' = \frac{1}{x^2/2} = \frac{2}{x^2}.

Passo 6

Integramos para obter y:
y(x) = \int \frac{2}{x^2}\,dx = 2\int x^{-2}\,dx = 2\bigl(-x^{-1}\bigr) + C_2 = -\frac{2}{x} + C_2.
Aplicamos y(1)=4:
4 = -\frac{2}{1} + C_2 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = 6.
Portanto
\;y(x) = 6 - \frac{2}{x}.

Resposta

\boxed{y(x) = 6 - \frac{2}{x}.}

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