[6] (2.0 ptos) Ache o volume do sólido de base, o domínio
, e a superfície gráfico de
. (0.5 ptos) Faça um esboço do sólido.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido cuja base é o disco
e cuja “tampa” é o gráfico de
Isso envolve calcular o duplo integral em coordenadas polares.
Passo 2
Escrevemos o volume como
e separamos em
Passo 3
O primeiro termo é
Passo 4
Para o segundo termo usamos coordenadas polares:
Então
e
Passo 5
Calculamos separadamente:
Logo
e por fim
Passo 6
Esboço do sólido: base circular de raio
no plano
; sobre os eixos
e
a altura é máxima (
); nos pontos da borda onde
é máximo (por exemplo
) a altura é mínima (
). A superfície tem simetria quadrantal e forma quatro vales ao longo dos bissetores dos quadrantes.