[6] (2.0 ptos) Ache o volume do sólido de base, o domínio D: x^{2}+y^{2} \leq 4, e a superfície gráfico de f(x, y)=5-|x y|. (0.5 ptos) Faça um esboço do sólido.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido cuja base é o disco
D:\;x^{2}+y^{2}\le 4
e cuja “tampa” é o gráfico de
f(x,y)=5-|x y|.
Isso envolve calcular o duplo integral em coordenadas polares.

Passo 2

Escrevemos o volume como
V=\iint_{D}(5-|x y|)\,dA
e separamos em
V=\iint_{D}5\,dA\;-\;\iint_{D}|x y|\,dA.

Passo 3

O primeiro termo é
\iint_{D}5\,dA=5\cdot\text{área}(D)=5\cdot\bigl(\pi\cdot 2^{2}\bigr)=20\pi.á

Passo 4

Para o segundo termo usamos coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad 0\le r\le2,\;0\le\theta\le2\pi.
Então
|x y|=r^{2}|\cos\theta\,\sin\theta|=\frac{r^{2}}{2}|\sin2\theta|, \quad dA=r\,dr\,d\theta,
e
\iint_{D}|x y|\,dA =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2} \frac{r^{2}}{2}|\sin2\theta|\;r\,dr\,d\theta =\frac12\Bigl(\int_{0}^{2\pi}|\sin2\theta|\,d\theta\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{2}r^{3}\,dr\Bigr).

Passo 5

Calculamos separadamente:
\int_{0}^{2\pi}|\sin2\theta|\,d\theta=4, \qquad \int_{0}^{2}r^{3}\,dr=\frac{2^{4}}{4}=4.
Logo
\iint_{D}|x y|\,dA=\frac12\cdot 4\cdot 4=8,
e por fim
V=20\pi-8.

Passo 6

Esboço do sólido: base circular de raio 2 no plano xy; sobre os eixos x=0 e y=0 a altura é máxima ( z=5); nos pontos da borda onde |xy| é máximo (por exemplo x=y=\pm\sqrt2) a altura é mínima ( z=3). A superfície tem simetria quadrantal e forma quatro vales ao longo dos bissetores dos quadrantes.

Resposta

V = 20\pi - 8

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