Uma pequena superfície aquecida à temperatura T_{1}=430 \mathrm{~K} tendo uma emissividade \varepsilon=0,8 dissipa calor por radiação ao redor de sua área a \mathrm{T}_{2}=400 \mathrm{~K}. Se esse processo de
transferência de radiação é caracterizado pelo coeficiente de transferência de radiação \mathrm{h}_{\mathrm{r}}, calcule o valor de \mathrm{h}_{\mathrm{r}}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dados: T_{1}=430\\ \mathrm{K}
T_{2}=400\\ \mathrm{K}
\varepsilon=0{,}8
  • Pergunta: calcular o coeficiente de transferência de radiação h_{r} que caracteriza o fluxo radiativo da superfície a T_{1} para o entorno a T_{2}.

Passo 2

Entendendo a fórmula que vamos usar (explicação didática e passo a passo). A lei de Stefan–Boltzmann diz que a emissão de radiação de uma superfície negra por unidade de área é
q_{\text{emit}}=\sigma T^{4},
onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann ( \sigma\approx 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}) e T é a temperatura em kelvin. Para uma superfície real com emissividade \varepsilon e um entorno que pode ser aproximado como um corpo a T_{2}, o fluxo líquido por unidade de área é
q=\varepsilon\sigma\bigl(T_{1}^{4}-T_{2}^{4}\bigr).
Queremos um coeficiente h_{r} tal que o mesmo fluxo seja escrito de forma linear em relação à diferença de temperatura:
q=h_{r}\left(T_{1}-T_{2}\right).
Igualando as duas expressões para q obtemos
h_{r}=\varepsilon\sigma\frac{T_{1}^{4}-T_{2}^{4}}{T_{1}-T_{2}}.
Agora fazemos uma simplificação algébrica: a diferença de quartas potências fatoriza como diferença de potências:
T_{1}^{4}-T_{2}^{4}=(T_{1}-T_{2})\bigl(T_{1}^{3}+T_{1}^{2}T_{2}+T_{1}T_{2}^{2}+T_{2}^{3}\bigr).
Cancelando (T_{1}-T_{2}) no numerador e denominador, uma forma prática e habitual de escrever h_{r} é
h_{r}=\varepsilon\sigma\bigl(T_{1}^{3}+T_{1}^{2}T_{2}+T_{1}T_{2}^{2}+T_{2}^{3}\bigr).
Outra escrita equivalente, mais compacta, é
h_{r}=\varepsilon\sigma\,(T_{1}+T_{2})\,(T_{1}^{2}+T_{2}^{2}).
Essa última forma é útil para calcular numericamente sem expandir muitos termos.

Passo 3

Substituindo os valores numéricos e calculando passo a passo (explico cada operação para você poder reproduzir na prova sem pular etapas).
  1. Primeiro calcule T_{1}^{2} e T_{2}^{2}:
T_{1}^{2}=430^{2}=184\,900
T_{2}^{2}=400^{2}=160\,000
  1. Some as quadraturas:
T_{1}^{2}+T_{2}^{2}=184\,900+160\,000=344\,900
  1. Some as temperaturas:
T_{1}+T_{2}=430+400=830
  1. Multiplique as duas quantidades (isso dá a soma dos termos cúbicos agrupados):
(T_{1}^{2}+T_{2}^{2})(T_{1}+T_{2})=344\,900\times830=286\,267\,000
  1. Calcule o produto \varepsilon\sigma. Usarei \sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}:
\varepsilon\sigma=0{,}8\times5{,}670374419\times10^{-8}=4{,}5362995352\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}
  1. Finalmente, calcule h_{r}:
h_{r}=\varepsilon\sigma\,(T_{1}+T_{2})(T_{1}^{2}+T_{2}^{2})
h_{r}=4{,}5362995352\times10^{-8}\times286\,267\,000
Agora executando a multiplicação:
4{,}5362995352\times10^{-8}\times286\,267\,000\approx12{,}9859\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.

Passo 4

Arredondamento e interpretação final (um empurrãozinho de ânimo). Arredondando para dois algarismos significativos após a vírgula, obtemos
h_{r}\approx12{,}99\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
Isso significa que, para cada kelvin de diferença entre a superfície e o entorno, a superfície troca por radiação cerca de 13\\ \mathrm{W} por metro quadrado. Se tiver mais exercícios desse tipo, a receita é sempre: escrever q=\varepsilon\sigma(T_{1}^{4}-T_{2}^{4}), linearizar pela diferença T_{1}-T_{2} e seguir os passos numéricos que mostrei — você vai tirar de letra na prova. Força aí!

Resposta

h_{r}\approx12{,}99\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}

Exercícios relacionados