Questão 1. Para a mola do exemplo precedente, considere m=2, k=128 e uma força de amortecimento com c=40. Suponha que o movimento começa na posição de equilíbrio, isto é, x(0)=0, com velocidade inicial x^{\prime}(0)=v_{0}= 0,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(a) Determine a equação diferencial que rege o movimento.(Use a Equação (1))
(b) Encontre a solução x(t).
(c) Determine a velocidade v(t)=x^{\prime}(t).
(d) O objeto passa novamente pela posição de equilíbrio? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas, e nos dá parâmetros iniciais do problema. Vou listar claramente o que foi pedido e os dados fornecidos:
  • Perguntas:
    (a) Determinar a equação diferencial que rege o movimento.
    (b) Encontrar a solução x(t).
    (c) Determinar a velocidade v(t)=x^{\prime}(t).
    (d) Verificar se o objeto passa novamente pela posição de equilíbrio e justificar.
  • Dados fornecidos:
    • massa: m=2 (kg),
    • constante elástica: k=128 (N/m),
    • coeficiente de amortecimento: c=40 (N·s/m),
    • condição inicial de posição: x(0)=0,
    • condição inicial de velocidade: x^{\prime}(0)=v_{0}=0,5 (m/s).

Passo 2

Montar a equação diferencial do movimento (modelo físico e significado dos termos).
  • Para um sistema massa-mola com amortecimento linear, a soma das forças dá a equação de segunda ordem
m\,x''(t)+c\,x'(t)+k\,x(t)=0.
Aqui cada termo tem significado:
  • m\,x''(t) é a força inercial (massa vezes aceleração),
  • c\,x'(t) é a força de amortecimento (proporcional à velocidade),
  • k\,x(t) é a força elástica (Lei de Hooke).
  • Substituindo os valores fornecidos obtemos a equação com números:
2\,x''(t)+40\,x'(t)+128\,x(t)=0.
  • É comum dividir por m para obter a forma padrão:
x''(t)+20\,x'(t)+64\,x(t)=0.

Passo 3

Transformar a EDO em um problema algébrico (equação característica).
  • Procuramos soluções do tipo x(t)=e^{rt}. Substituindo na equação padrão resulta a equação característica
r^{2}+20r+64=0.
  • Esta equação determina os expoentes r que aparecem na solução geral. Agora vamos resolver essa quadrática.

Passo 4

Resolver a equação característica e interpretar as raízes.
  • Calcular o discriminante:
\Delta = 20^{2}-4\cdot1\cdot64 = 400-256=144.
  • A raiz quadrada é \sqrt{\Delta}=12. As raízes são
r=\frac{-20\pm12}{2}.
  • Assim
r_{1}=\frac{-20+12}{2}=-4,\qquad r_{2}=\frac{-20-12}{2}=-16.
  • As duas raízes são reais e distintas (ambas negativas). Isso corresponde a um amortecimento “sobreamortecido” (overdamped): não há oscilações, a solução é combinação de exponenciais reais decrescentes.

Passo 5

Escrever a solução geral da EDO e explicar por que é essa forma.
  • Para raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral é
x(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}.
  • Substituindo r_{1}=-4 e r_{2}=-16 obtemos
x(t)=C_{1}e^{-4t}+C_{2}e^{-16t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais. A forma linear soma-se por superposição porque a EDO é linear.

Passo 6

Aplicar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
  • Da condição x(0)=0 temos
x(0)=C_{1}+C_{2}=0 \qquad\Rightarrow\qquad C_{2}=-C_{1}.
  • Precisamos da expressão da velocidade para usar x^{\prime}(0)=0,5. Derivando x(t):
x'(t)=-4C_{1}e^{-4t}-16C_{2}e^{-16t}.
  • Avaliando em t=0 e usando x'(0)=0,5 (note que escrevemos 0,5 conforme dado):
x'(0)=-4C_{1}-16C_{2}=0,5.
  • Substituindo C_{2}=-C_{1}:
-4C_{1}-16(-C_{1})=-4C_{1}+16C_{1}=12C_{1}=0,5.
  • Portanto
C_{1}=\frac{0,5}{12}=\frac{1}{24}.
  • E então
C_{2}=-\frac{1}{24}.

Passo 7

Escrever a solução particular x(t) com as constantes encontradas.
  • Substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral:
x(t)=\frac{1}{24}e^{-4t}-\frac{1}{24}e^{-16t}=\frac{1}{24}\bigl(e^{-4t}-e^{-16t}\bigr).
  • Unidade: x(t) está em metros.

Passo 8

Determinar a velocidade v(t)=x'(t) explicitamente e simplificar.
  • Derivando x(t):
v(t)=x'(t)=\frac{1}{24}\bigl(-4e^{-4t}+16e^{-16t}\bigr).
  • Simplificando os coeficientes:
v(t)=-\frac{1}{6}e^{-4t}+\frac{2}{3}e^{-16t}.
  • Unidade: v(t) em m/s. Conferindo em t=0:
v(0)=-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}=\frac{-1+4}{6}=\frac{3}{6}=0,5,
que coincide com a condição inicial.

Passo 9

Analisar se o objeto volta a passar pela posição de equilíbrio ( x=0) para t>0.
  • Resolver x(t)=0 para t\ge0:
\frac{1}{24}\bigl(e^{-4t}-e^{-16t}\bigr)=0 \qquad\Rightarrow\qquad e^{-4t}=e^{-16t}.
  • Isso implica e^{12t}=1, logo 12t=0 e portanto t=0. Não há solução com t>0.
  • Outra argumentação simples: para t>0 tem-se -4t>-16t, logo e^{-4t}>e^{-16t}, portanto e^{-4t}-e^{-16t}>0 e assim x(t)>0 para todo t>0. Logo o corpo não passa novamente pela posição de equilíbrio; ele parte de 0 com velocidade positiva, atinge um máximo e depois decai monotonamente para 0 sem cruzá-lo.
  • Como curiosidade, o instante em que a velocidade se anula (máximo de x) satisfaz v(t)=0:
-\frac{1}{6}e^{-4t}+\frac{2}{3}e^{-16t}=0
\Rightarrow e^{12t}=4 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{\ln 4}{12}=\frac{\ln 2}{6}\approx0,1155\\ \text{s},
e nesse instante x(t)>0. Isso reforça que o movimento não cruza x=0 novamente.

Resposta

(a) \;2\,x''(t)+40\,x'(t)+128\,x(t)=0 (ou, em forma padrão, \;x''(t)+20\,x'(t)+64\,x(t)=0).
(b) \;x(t)=\dfrac{1}{24}\bigl(e^{-4t}-e^{-16t}\bigr) (metros).
(c) \;v(t)=x'(t)=-\dfrac{1}{6}e^{-4t}+\dfrac{2}{3}e^{-16t} (m/s).
(d) Não. O objeto passa por x=0 apenas em t=0; para todo t>0 tem-se x(t)>0, logo não volta a cruzar a posição de equilíbrio.

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