Questão 1. Para a mola do exemplo precedente, considere
e uma força de amortecimento com
. Suponha que o movimento começa na posição de equilíbrio, isto é,
, com velocidade inicial
.
(a) Determine a equação diferencial que rege o movimento.(Use a Equação (1))
(b) Encontre a solução
.
(c) Determine a velocidade
.
(d) O objeto passa novamente pela posição de equilíbrio? Justifique sua resposta.
(a) Determine a equação diferencial que rege o movimento.(Use a Equação (1))
(b) Encontre a solução
(c) Determine a velocidade
(d) O objeto passa novamente pela posição de equilíbrio? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas, e nos dá parâmetros iniciais do problema. Vou listar claramente o que foi pedido e os dados fornecidos:
- Perguntas:
(a) Determinar a equação diferencial que rege o movimento.
(b) Encontrar a solução.
(c) Determinar a velocidade.
(d) Verificar se o objeto passa novamente pela posição de equilíbrio e justificar. - Dados fornecidos:
- massa:
(kg), - constante elástica:
(N/m), - coeficiente de amortecimento:
(N·s/m), - condição inicial de posição:
, - condição inicial de velocidade:
(m/s).
- massa:
Passo 2
Montar a equação diferencial do movimento (modelo físico e significado dos termos).
- Para um sistema massa-mola com amortecimento linear, a soma das forças dá a equação de segunda ordem
Aqui cada termo tem significado:
-
é a força inercial (massa vezes aceleração), -
é a força de amortecimento (proporcional à velocidade), -
é a força elástica (Lei de Hooke). - Substituindo os valores fornecidos obtemos a equação com números:
- É comum dividir por
para obter a forma padrão:
Passo 3
Transformar a EDO em um problema algébrico (equação característica).
- Procuramos soluções do tipo
. Substituindo na equação padrão resulta a equação característica
- Esta equação determina os expoentes
que aparecem na solução geral. Agora vamos resolver essa quadrática.
Passo 4
Resolver a equação característica e interpretar as raízes.
- Calcular o discriminante:
- A raiz quadrada é
. As raízes são
- Assim
- As duas raízes são reais e distintas (ambas negativas). Isso corresponde a um amortecimento “sobreamortecido” (overdamped): não há oscilações, a solução é combinação de exponenciais reais decrescentes.
Passo 5
Escrever a solução geral da EDO e explicar por que é essa forma.
- Para raízes reais distintas
e , a solução geral é
- Substituindo
e obtemos
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais. A forma linear soma-se por superposição porque a EDO é linear.
Passo 6
Aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
- Da condição
temos
- Precisamos da expressão da velocidade para usar
. Derivando :
- Avaliando em
e usando (note que escrevemos conforme dado):
- Substituindo
:
- Portanto
- E então
Passo 7
Escrever a solução particular
com as constantes encontradas.
- Substituindo
e na solução geral:
- Unidade:
está em metros.
Passo 8
Determinar a velocidade
explicitamente e simplificar.
- Derivando
:
- Simplificando os coeficientes:
- Unidade:
em m/s. Conferindo em :
que coincide com a condição inicial.
Passo 9
Analisar se o objeto volta a passar pela posição de equilíbrio (
) para
.
- Resolver
para :
- Isso implica
, logo e portanto . Não há solução com . - Outra argumentação simples: para
tem-se , logo , portanto e assim para todo . Logo o corpo não passa novamente pela posição de equilíbrio; ele parte de com velocidade positiva, atinge um máximo e depois decai monotonamente para sem cruzá-lo. - Como curiosidade, o instante em que a velocidade se anula (máximo de
) satisfaz :
e nesse instante
. Isso reforça que o movimento não cruza
novamente.
Resposta
(a)
(ou, em forma padrão,
).
(b) (metros).
(c) (m/s).
(d) Não. O objeto passa por apenas em
; para todo
tem-se
, logo não volta a cruzar a posição de equilíbrio.
(b)
(c)
(d) Não. O objeto passa por