2 ª Questão: Resolva as equações diferenciais:
(b) \frac{d y}{d x}=-\frac{5 x+4 y}{4 x-8 y^{3}}
(b) \frac{d y}{d x}=-\frac{5 x+4 y}{4 x-8 y^{3}}
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas que vamos usar:
- A equação está na forma de razão entre funções de
e . - Não foram fornecidas condições iniciais; portanto procuramos a solução geral (com constante arbitrária).
- Note que o denominador
zera quando ; esse é um lugar onde a equação original é singular e precisa de atenção (não podemos dividir por zero ao longo de soluções que atinjam essa curva).
Passo 2
Reescrevemos a equação na forma diferencial total
. Isso é útil porque há um método direto (equações exatas) que pode dar a solução implícita. Multiplicando ambos os lados por
e movendo termos:
Aqui identificamos
Passo 3
Agora aplicamos o teste de exatidão: para a equação ser exata, deve valer
. Calculamos:
Como
, a equação é exata numa região onde
e
são contínuas (exceto na curva singular
). Logo existe uma função potencial
tal que
e as soluções são dadas implicitamente por
.
Passo 4
Construímos
integrando
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função desconhecida de
(constante de integração em relação a
).
Passo 5
Determinamos
usando a condição
. Calculamos:
Igualando a
temos
Isolando
:
Integramos em
:
onde
é uma constante que pode ser absorvida na constante global da solução.
Passo 6
Substituímos
em
e escrevemos a solução implícita geral:
onde
é uma constante arbitrária. Esta família implícita de curvas é a solução geral da equação diferencial, definida em regiões que não cruzem a curva singular
(a menos que se trate separadamente o caso de soluções que coincidam com essa curva).
Passo 7
Verificação rápida (procure sempre fazer isso na prova): derivando implicitamente
obtemos
ou seja
que leva a
recuperando exatamente a equação dada. Está verificada.