2 ª Questão: Resolva as equações diferenciais:
(b) \frac{d y}{d x}=-\frac{5 x+4 y}{4 x-8 y^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=-\frac{5x+4y}{4x-8y^{3}}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A equação está na forma de razão entre funções de x e y.
  • Não foram fornecidas condições iniciais; portanto procuramos a solução geral (com constante arbitrária).
  • Note que o denominador 4x-8y^{3} zera quando x=2y^{3}; esse é um lugar onde a equação original é singular e precisa de atenção (não podemos dividir por zero ao longo de soluções que atinjam essa curva).

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma diferencial total M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0. Isso é útil porque há um método direto (equações exatas) que pode dar a solução implícita. Multiplicando ambos os lados por dx e movendo termos:
(5x+4y)\,dx + (4x-8y^{3})\,dy = 0.
Aqui identificamos
M(x,y)=5x+4y,\qquad N(x,y)=4x-8y^{3}.

Passo 3

Agora aplicamos o teste de exatidão: para a equação ser exata, deve valer \partial M/\partial y = \partial N/\partial x. Calculamos:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(5x+4y)=4, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(4x-8y^{3})=4.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x=4, a equação é exata numa região onde M e N são contínuas (exceto na curva singular x=2y^3). Logo existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M,\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N,
e as soluções são dadas implicitamente por \Phi(x,y)=\text{constante}.

Passo 4

Construímos \Phi integrando M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int (5x+4y)\,dx=\frac{5}{2}x^{2}+4xy + h(y),
onde h(y) é uma função desconhecida de y (constante de integração em relação a x).

Passo 5

Determinamos h(y) usando a condição \partial \Phi/\partial y = N. Calculamos:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=4x + h'(y).
Igualando a N(x,y) temos
4x + h'(y)=4x-8y^{3}.
Isolando h'(y):
h'(y)=-8y^{3}.
Integramos em y:
h(y)=\int -8y^{3}\,dy=-2y^{4}+C_0,
onde C_0 é uma constante que pode ser absorvida na constante global da solução.

Passo 6

Substituímos h(y) em \Phi e escrevemos a solução implícita geral:
\Phi(x,y)=\frac{5}{2}x^{2}+4xy-2y^{4}=C,
onde C é uma constante arbitrária. Esta família implícita de curvas é a solução geral da equação diferencial, definida em regiões que não cruzem a curva singular x=2y^{3} (a menos que se trate separadamente o caso de soluções que coincidam com essa curva).

Passo 7

Verificação rápida (procure sempre fazer isso na prova): derivando implicitamente \Phi(x,y)=C obtemos
\frac{\partial \Phi}{\partial x} + \frac{\partial \Phi}{\partial y}\frac{dy}{dx}=0
ou seja
(5x+4y) + (4x-8y^{3})\frac{dy}{dx}=0,
que leva a
\frac{dy}{dx}=-\frac{5x+4y}{4x-8y^{3}},
recuperando exatamente a equação dada. Está verificada.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}x^{2}+4xy-2y^{4}=C

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