Assinale valores para as constantes reais a e b de modo que a função
f(z)=3 x-y+5+i(a x+b y-3)
seja analítica em todos os pontos do plano complexo.
Escolha uma opção:
a=1, b=3
a=-1, b=-3
a=1, b=-3
a=0, b=0
a=-1, b=3

Passo 1

O enunciado pede: escolher valores reais para as constantes a e b de modo que a função seja analítica em todo o plano complexo. A função dada é
f(z)=3 x-y+5+i(a x+b y-3).
As informações relevantes fornecidas são:
  • A parte real de f é \,u(x,y)=3x-y+5.
  • A parte imaginária de f (antes do fator i) é \,v(x,y)=a x+b y-3.
  • É preciso achar valores de a e b tais que f seja analítica em todos os pontos do plano.

Passo 2

O que significa f ser analítica em todo o plano (explicação didática): para uma função f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y) ser analítica num domínio aberto basta que u e v tenham derivadas parciais contínuas e satisfaçam as equações de Cauchy–Riemann naquele domínio. As equações de Cauchy–Riemann são (aqui cada derivada parcial é a derivada de u ou v em relação a x ou y):
u_x = v_y
u_y = -v_x.
Explicando as notações: u_x é a derivada parcial de u em relação a x (mantendo y fixo), u_y é a derivada parcial de u em relação a y, e análogamente para v_x e v_y.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de u e v. Como u(x,y)=3x-y+5 e v(x,y)=a x+b y-3, as derivadas parciais são constantes:
u_x = 3,\qquad u_y = -1,
v_x = a,\qquad v_y = b.
Aqui cada cálculo é simples porque u e v são funções lineares em x e y: a derivada parcial de 3x em relação a x é 3, a de -y em relação a x é 0, etc.

Passo 4

Aplicando as equações de Cauchy–Riemann:
u_x = v_y \quad\Rightarrow\quad 3 = b,
u_y = -v_x \quad\Rightarrow\quad -1 = -a \quad\Rightarrow\quad a = 1.
Portanto as equações impõem a=1 e b=3.

Passo 5

Verificação e comentário final: com a=1 e b=3 as derivadas parciais são contínuas (são constantes), logo as hipóteses são satisfeitas e f é diferenciável em todo ponto do plano. Portanto f é analítica em todo o plano para esses valores de a e b.

Resposta

a=1,\\ b=3

Exercícios relacionados