Assinale valores para as constantes reais
e
de modo que a função
seja analítica em todos os pontos do plano complexo.
Escolha uma opção:
◯
◯
◯
◯
◯
Escolha uma opção:
◯
◯
◯
◯
◯
Passo 1
O enunciado pede: escolher valores reais para as constantes
e
de modo que a função seja analítica em todo o plano complexo. A função dada é
As informações relevantes fornecidas são:
- A parte real de
é . - A parte imaginária de
(antes do fator ) é . - É preciso achar valores de
e tais que seja analítica em todos os pontos do plano.
Passo 2
O que significa
ser analítica em todo o plano (explicação didática): para uma função
ser analítica num domínio aberto basta que
e
tenham derivadas parciais contínuas e satisfaçam as equações de Cauchy–Riemann naquele domínio. As equações de Cauchy–Riemann são (aqui cada derivada parcial é a derivada de
ou
em relação a
ou
):
Explicando as notações:
é a derivada parcial de
em relação a
(mantendo
fixo),
é a derivada parcial de
em relação a
, e análogamente para
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
e
. Como
e
, as derivadas parciais são constantes:
Aqui cada cálculo é simples porque
e
são funções lineares em
e
: a derivada parcial de
em relação a
é
, a de
em relação a
é
, etc.
Passo 4
Aplicando as equações de Cauchy–Riemann:
Portanto as equações impõem
e
.
Passo 5
Verificação e comentário final: com
e
as derivadas parciais são contínuas (são constantes), logo as hipóteses são satisfeitas e
é diferenciável em todo ponto do plano. Portanto
é analítica em todo o plano para esses valores de
e
.