Marque as afirmativas verdadeiras entre as opções a seguir.
Escolha uma ou mais:
□ Se uma função
é analítica em um ponto
, então
é necessariamente diferenciável em
.
□ É possível que uma função seja analítica somente em um único ponto.
□ O fato de uma função
ser analítica em um ponto
não garante que
seja diferenciável em
.
□ O fato de uma função
ser diferenciável em um ponto
não garante que
seja analítica em
.
□ Não existe função que seja analítica em um único ponto
; se
é analítica em
, então necessariamente também é analítica em infinitos pontos próximos de
.
Escolha uma ou mais:
□ Se uma função
□ É possível que uma função seja analítica somente em um único ponto.
□ O fato de uma função
□ O fato de uma função
□ Não existe função que seja analítica em um único ponto
Passo 1
O enunciado pede que eu marque as afirmativas verdadeiras entre cinco opções apresentadas. Vou listar as cinco opções exatamente como dadas para ficar claro o que cada uma diz:
- Se uma função
é analítica em um ponto , então é necessariamente diferenciável em . - É possível que uma função seja analítica somente em um único ponto.
- O fato de uma função
ser analítica em um ponto não garante que seja diferenciável em . - O fato de uma função
ser diferenciável em um ponto não garante que seja analítica em . - Não existe função que seja analítica em um único ponto
; se é analítica em , então necessariamente também é analítica em infinitos pontos próximos de .
O que preciso decidir:, para cada uma das afirmações acima, se ela é verdadeira ou falsa. Nos passos seguintes eu explico os conceitos necessários e argumento para decidir cada opção.
Passo 2
Primeiro, definição clara e simples de “diferenciável em um ponto” no contexto complexo (essa é a base).
- Dizemos que
é diferenciável em (no sentido complexo) se o seguinte limite existe e é finito:
Explicando devagar: isto quer dizer que a razão incremental
tem um único valor limite quando
se aproxima de
por qualquer direção no plano complexo. Se esse limite existe, chamamos esse número de derivada complexa
.
- Importante distinguir: ser diferenciável em um ponto é apenas informação local naquele ponto — não diz nada imediato sobre derivadas em pontos vizinhos.
Passo 3
Agora, definição de “analítica em um ponto” (essa definição é central para responder as afirmativas).
- Dizemos que
é analítica em se existe uma série de potências centrada em ,
com raio de convergência
, tal que a série converge para
para todo
com
. Em palavras: existe um disco aberto centrado em
onde
é dada por uma série de potências.
- Observação didática: esta definição implica que "analítica em
" significa mais que apenas algo acontecer exatamente em — implica que a igualdade com a série vale numa vizinhança inteira (um disco) de raio . Portanto, analyticity já vem com um pequeno “bônus” de vizinhança.
Passo 4
Propriedade útil: se
é analítica em
, então
é diferenciável em
(e de fato em todo o disco onde a série converge).
- Demonstração curta e intuitiva: se
então podemos derivar termo a termo (série de potências são diferenciáveis dentro do raio de convergência), obtendo
para
. Em particular a derivada em
existe e é
. Conclusão: analítica em
implica diferenciável em
.
- Ressalto para a prova da prova: a validade da derivação termo a termo é garantida pelas propriedades de séries de potências e pela convergência uniforme em discos fechados menores que
; aqui não preciso entrar em todo o detalhe técnico, só é importante aceitar que séries de potências comportam-se bem nesse sentido.
Passo 5
Consequência imediata da definição de analiticidade: não é possível que uma função seja analítica em exatamente um único ponto.
- Explicando devagar: a definição exige existência de um raio
tal que a série converge e representa em todo o disco . Esse disco contém infinitos pontos (não é apenas o ponto ). Portanto, se é analítica em , ela é analítica em todos os pontos desse disco — logo em infinitos pontos próximos. Assim, a afirmação “é possível ser analítica somente em um único ponto” é falsa; e a afirmação que nega essa possibilidade (a opção 5) é verdadeira.
Passo 6
Exemplo concreto que mostra o oposto: função diferenciável em um ponto, mas não analítica ali.
- Considere
. Escrevendo com , temos . - Calcule o quociente incremental em
:
Quando , . Logo o limite existe e vale . Portanto é diferenciável em e . - Por outro lado, em um ponto
as equações de Cauchy–Riemann falham: se e , então , , . As CR (necessárias para diferenciabilidade complexa numa vizinhança) exigem e , ou seja . Assim não é diferenciável em nenhum ponto . Conclusão: é diferenciável apenas em um único ponto (o zero) — mas não existe disco onde seja diferenciável, logo não é analítica em .
- Calcule o quociente incremental em
- Esse exemplo ilustra que ser diferenciável em um ponto isolado NÃO garante que a função seja analítica ali. Portanto a opção que afirma isso (a opção 4) é verdadeira.
Passo 7
Agora relaciono cada afirmação com os argumentos dados (sem repetir apenas a resposta final em bloco; aqui justifico cada item):
-
Item 1: “Se
é analítica em , então é diferenciável em .” Pela Passo 4 (derivação termo a termo da série de potências), isso é verdadeiro. -
Item 2: “É possível que uma função seja analítica somente em um único ponto.” Pela Passo 5, a definição de analítica exige um disco de raio
onde a série representa ; portanto não é possível ficar restrito a um único ponto. Logo essa afirmação é falsa. -
Item 3: “O fato de
ser analítica em não garante que seja diferenciável em .” Isso contradiz o item 1 e a definição; portanto é falsa. -
Item 4: “O fato de
ser diferenciável em não garante que seja analítica em .” O exemplo de mostrado no Passo 6 prova que isso pode ocorrer: diferenciabilidade isolada sem analiticidade. Portanto essa afirmação é verdadeira. -
Item 5: “Não existe função que seja analítica em um único ponto
; se é analítica em , então necessariamente também é analítica em infinitos pontos próximos de .” Isso é exatamente a consequência da definição de série de potências com raio (Passo 5). Portanto essa afirmação é verdadeira.
Resposta
Opções verdadeiras: 1, 4 e 5.