Marque as afirmativas verdadeiras entre as opções a seguir.
Escolha uma ou mais:
□ Se uma função f é analítica em um ponto z_{0}, então f é necessariamente diferenciável em z_{0}.
□ É possível que uma função seja analítica somente em um único ponto.
□ O fato de uma função f ser analítica em um ponto z_{0} não garante que f seja diferenciável em z_{0}.
□ O fato de uma função f ser diferenciável em um ponto z_{0} não garante que f seja analítica em z_{0}.
□ Não existe função que seja analítica em um único ponto z_{0}; se f é analítica em z_{0}, então necessariamente também é analítica em infinitos pontos próximos de z_{0}.

Passo 1

O enunciado pede que eu marque as afirmativas verdadeiras entre cinco opções apresentadas. Vou listar as cinco opções exatamente como dadas para ficar claro o que cada uma diz:
  1. Se uma função f é analítica em um ponto z_{0}, então f é necessariamente diferenciável em z_{0}.
  2. É possível que uma função seja analítica somente em um único ponto.
  3. O fato de uma função f ser analítica em um ponto z_{0} não garante que f seja diferenciável em z_{0}.
  4. O fato de uma função f ser diferenciável em um ponto z_{0} não garante que f seja analítica em z_{0}.
  5. Não existe função que seja analítica em um único ponto z_{0}; se f é analítica em z_{0}, então necessariamente também é analítica em infinitos pontos próximos de z_{0}.
O que preciso decidir:, para cada uma das afirmações acima, se ela é verdadeira ou falsa. Nos passos seguintes eu explico os conceitos necessários e argumento para decidir cada opção.

Passo 2

Primeiro, definição clara e simples de “diferenciável em um ponto” no contexto complexo (essa é a base).
  • Dizemos que f é diferenciável em z_0 (no sentido complexo) se o seguinte limite existe e é finito:
f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}.
Explicando devagar: isto quer dizer que a razão incremental \dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} tem um único valor limite quando z se aproxima de z_0 por qualquer direção no plano complexo. Se esse limite existe, chamamos esse número de derivada complexa f'(z_0).
  • Importante distinguir: ser diferenciável em um ponto é apenas informação local naquele ponto — não diz nada imediato sobre derivadas em pontos vizinhos.

Passo 3

Agora, definição de “analítica em um ponto” (essa definição é central para responder as afirmativas).
  • Dizemos que f é analítica em z_0 se existe uma série de potências centrada em z_0,
\sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n,
com raio de convergência r>0, tal que a série converge para f(z) para todo z com |z-z_0|<r. Em palavras: existe um disco aberto centrado em z_0 onde f é dada por uma série de potências.
  • Observação didática: esta definição implica que "analítica em z_0" significa mais que apenas algo acontecer exatamente em z_0 — implica que a igualdade com a série vale numa vizinhança inteira (um disco) de raio r>0. Portanto, analyticity já vem com um pequeno “bônus” de vizinhança.

Passo 4

Propriedade útil: se f é analítica em z_0, então f é diferenciável em z_0 (e de fato em todo o disco onde a série converge).
  • Demonstração curta e intuitiva: se
f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n\quad\text{para }|z-z_0|<r,
então podemos derivar termo a termo (série de potências são diferenciáveis dentro do raio de convergência), obtendo
f'(z)=\sum_{n=1}^\infty n a_n (z-z_0)^{n-1}
para |z-z_0|<r. Em particular a derivada em z_0 existe e é f'(z_0)=a_1. Conclusão: analítica em z_0 implica diferenciável em z_0.
  • Ressalto para a prova da prova: a validade da derivação termo a termo é garantida pelas propriedades de séries de potências e pela convergência uniforme em discos fechados menores que r; aqui não preciso entrar em todo o detalhe técnico, só é importante aceitar que séries de potências comportam-se bem nesse sentido.

Passo 5

Consequência imediata da definição de analiticidade: não é possível que uma função seja analítica em exatamente um único ponto.
  • Explicando devagar: a definição exige existência de um raio r>0 tal que a série converge e representa f em todo o disco \{z:|z-z_0|<r\}. Esse disco contém infinitos pontos (não é apenas o ponto z_0). Portanto, se f é analítica em z_0, ela é analítica em todos os pontos desse disco — logo em infinitos pontos próximos. Assim, a afirmação “é possível ser analítica somente em um único ponto” é falsa; e a afirmação que nega essa possibilidade (a opção 5) é verdadeira.

Passo 6

Exemplo concreto que mostra o oposto: função diferenciável em um ponto, mas não analítica ali.
  • Considere f(z)=|z|^2. Escrevendo z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}, temos f(z)=x^2+y^2.
    • Calcule o quociente incremental em z_0=0:
    \frac{f(z)-f(0)}{z-0}=\frac{|z|^2}{z}=\frac{z\overline{z}}{z}=\overline{z}.Quando z\to 0, \overline{z}\to 0. Logo o limite existe e vale 0. Portanto f é diferenciável em z_0=0 e f'(0)=0.
    • Por outro lado, em um ponto z_0\ne 0 as equações de Cauchy–Riemann falham: se u(x,y)=x^2+y^2 e v(x,y)=0, então u_x=2x, u_y=2y, v_x=v_y=0. As CR (necessárias para diferenciabilidade complexa numa vizinhança) exigem 2x=0 e 2y=0, ou seja x=y=0. Assim f não é diferenciável em nenhum ponto z_0\ne 0. Conclusão: f é diferenciável apenas em um único ponto (o zero) — mas não existe disco onde seja diferenciável, logo não é analítica em 0.
  • Esse exemplo ilustra que ser diferenciável em um ponto isolado NÃO garante que a função seja analítica ali. Portanto a opção que afirma isso (a opção 4) é verdadeira.

Passo 7

Agora relaciono cada afirmação com os argumentos dados (sem repetir apenas a resposta final em bloco; aqui justifico cada item):
  • Item 1: “Se f é analítica em z_0, então f é diferenciável em z_0.” Pela Passo 4 (derivação termo a termo da série de potências), isso é verdadeiro.
  • Item 2: “É possível que uma função seja analítica somente em um único ponto.” Pela Passo 5, a definição de analítica exige um disco de raio r>0 onde a série representa f; portanto não é possível ficar restrito a um único ponto. Logo essa afirmação é falsa.
  • Item 3: “O fato de f ser analítica em z_0 não garante que f seja diferenciável em z_0.” Isso contradiz o item 1 e a definição; portanto é falsa.
  • Item 4: “O fato de f ser diferenciável em z_0 não garante que f seja analítica em z_0.” O exemplo de f(z)=|z|^2 mostrado no Passo 6 prova que isso pode ocorrer: diferenciabilidade isolada sem analiticidade. Portanto essa afirmação é verdadeira.
  • Item 5: “Não existe função que seja analítica em um único ponto z_{0}; se f é analítica em z_{0}, então necessariamente também é analítica em infinitos pontos próximos de z_{0}.” Isso é exatamente a consequência da definição de série de potências com raio r>0 (Passo 5). Portanto essa afirmação é verdadeira.

Resposta

Opções verdadeiras: 1, 4 e 5.

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