3ª) Seja h(x)=f\left(x^{2}+x\right). Sabendo que f é derivável em 2 e que f^{\prime}(2)=3, calcule h^{\prime}(1).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Foi definida a função h por h(x)=f\bigl(x^{2}+x\bigr).
  • Sabe-se que f é derivável em 2 e que f^{\prime}(2)=3.
  • O que se pede: calcular h^{\prime}(1).
Nada mais é fornecido. O valor pedido é a derivada de h no ponto x=1.

Passo 2

Identificar a composição e a ferramenta a usar.
  • Note que h é uma composição: h(x)=f\bigl(g(x)\bigr) com g(x)=x^{2}+x.
  • Quando temos uma composição \,h(x)=f(g(x)), a ferramenta correta para obter a derivada é a regra da cadeia (chain rule).
Agora uma mini-aula sobre a regra da cadeia (explicação didática e sem pular etapas):
  • A derivada mede “sensibilidade”: f'(u) diz quanto muda f quando sua entrada u muda um pouco; g'(x) diz quanto muda g quando x muda um pouco.
  • Se u=g(x), uma pequena variação \Delta x causa \Delta u \approx g'(x)\,\Delta x. A variação correspondente em f é \Delta f \approx f'(u)\,\Delta u.
  • Compondo essas aproximações: \Delta f \approx f'(g(x))\cdot g'(x)\,\Delta x. Dividindo por \Delta x e fazendo \Delta x\to 0 resulta a fórmula da regra da cadeia:
h'(x)=\bigl(f\circ g\bigr)'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
  • Aqui cada símbolo significa:
    • h'(x): derivada de h em x.
    • f'(g(x)): derivada de f avaliada no ponto u=g(x).
    • g'(x): derivada de g no ponto x.
A condição dada de que f é derivável em 2 garante que f'(2) existe, então podemos aplicar a regra da cadeia para o ponto que nos interessa, desde que g(1)=2 (vamos ver).

Passo 3

Calcular g(x) e g'(x), e avaliar em x=1.
  • Defina g(x)=x^{2}+x.
  • Derivando g em relação a x:
g'(x)=2x+1.
  • Avaliando em x=1:
g(1)=1^{2}+1=2, \qquad g'(1)=2\cdot 1 + 1 = 3.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia no ponto x=1.
  • Pela regra da cadeia:
h'(1)=f'\bigl(g(1)\bigr)\cdot g'(1).
  • Substituindo os valores que já temos: g(1)=2, g'(1)=3 e a informação do enunciado f'(2)=3:
h'(1)=f'(2)\cdot 3 = 3\cdot 3 = 9.

Resposta

9

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