3ª) Seja
. Sabendo que
é derivável em 2 e que
, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Foi definida a função
por . - Sabe-se que
é derivável em e que . - O que se pede: calcular
.
Nada mais é fornecido. O valor pedido é a derivada de
no ponto
.
Passo 2
Identificar a composição e a ferramenta a usar.
- Note que
é uma composição: com . - Quando temos uma composição
, a ferramenta correta para obter a derivada é a regra da cadeia (chain rule).
Agora uma mini-aula sobre a regra da cadeia (explicação didática e sem pular etapas):
- A derivada mede “sensibilidade”:
diz quanto muda quando sua entrada muda um pouco; diz quanto muda quando muda um pouco. - Se
, uma pequena variação causa . A variação correspondente em é . - Compondo essas aproximações:
. Dividindo por e fazendo resulta a fórmula da regra da cadeia:
- Aqui cada símbolo significa:
-
: derivada de em . -
: derivada de avaliada no ponto . -
: derivada de no ponto .
-
A condição dada de que
é derivável em
garante que
existe, então podemos aplicar a regra da cadeia para o ponto que nos interessa, desde que
(vamos ver).
Passo 3
Calcular
e
, e avaliar em
.
- Defina
. - Derivando
em relação a :
- Avaliando em
:
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia no ponto
.
- Pela regra da cadeia:
- Substituindo os valores que já temos:
, e a informação do enunciado :