8ª) Dada a função
determine:
a) As assíntotas horizontais e verticais;
b) O(s) intervalo(s) onde é crescente;
c)
intervalo(s) onde é decrescente;
d)
intervalo(s) onde é côncava para cima;
e) O(s) intervalo(s) onde é côncava para baixo;
f) Os extremos relativos (máximos e mínimos relativos);
g)
ponto(s) de inflexão (se existir);
h) Use as informações encontradas para fazer um esboço do gráfico.
a) As assíntotas horizontais e verticais;
b) O(s) intervalo(s) onde é crescente;
c)
d)
e) O(s) intervalo(s) onde é côncava para baixo;
f) Os extremos relativos (máximos e mínimos relativos);
g)
h) Use as informações encontradas para fazer um esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função definida em
:
Pede-se, separadamente:
(a) as assíntotas horizontais e verticais;
(b) os intervalos onde é crescente;
(c) os intervalos onde é decrescente;
(d) os intervalos onde é côncava para cima;
(e) os intervalos onde é côncava para baixo;
(f) os extremos relativos (máximos e mínimos relativos);
(g) os pontos de inflexão (se existirem);
(h) um esboço do gráfico usando as informações encontradas.
(a) as assíntotas horizontais e verticais;
(b) os intervalos onde
(c) os intervalos onde
(d) os intervalos onde
(e) os intervalos onde
(f) os extremos relativos (máximos e mínimos relativos);
(g) os pontos de inflexão (se existirem);
(h) um esboço do gráfico usando as informações encontradas.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão algébrica de
está acima. - O domínio explícito é
(ou seja, não pertencem ao domínio).
Passo 2
Assíntotas verticais: definição e cálculo pelo limite.
- Uma reta vertical
é assíntota vertical quando está fora do domínio e pelo menos um dos limites ou é infinito (positivo ou negativo). - Aqui
estão fora do domínio, então avaliar os limites laterais.
Cálculo dos limites em
:
Observação rápida:
. Perto de
tem-se
(positivo) e
(positivo). Assim:
- Para
: pequeno → pequeno → denominador positivo pequeno → . - Para
: pequeno → pequeno negativo → .
Cálculo dos limites em
:
Perto de tem-se
e
(negativo).
Perto de
- Para
(isto é, vindo pela direita de ): pequeno e → produto é negativo pequeno → . - Para
: pequeno e → produto é positivo pequeno → .
Conclusão: existem assíntotas verticais em
e
.
Passo 3
Assíntota horizontal: método e cálculo.
- Quando o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal (se existir) é
razão dos coeficientes líderes.
Aqui numerador e denominador são quadráticos com coeficiente líderem ambos, logo a assíntota horizontal é .
Uma outra verificação fácil: reescreve-se
logo
Também observe que
para
, então
quando
e a aproximação a
se dá por valores maiores que
.
Passo 4
Derivada primeira: regra do quociente e cálculo detalhado.
- Regra do quociente: se
com diferenciáveis e , então
Aqui
,
. Tem-se
e
. Aplicando:
Passo 5
Monotonicidade a partir de
.
- As derivadas mudam de sinal onde
ou onde não existe (aqui não existe exatamente em , mas esses pontos não pertencem ao domínio). - Resolver
:
-
Sinais: o denominador
é sempre positivo para . Assim o sinal de depende só do numerador : - Se
então → . - Se
então → .
- Se
-
Lembre que o domínio está dividido em três intervalos:
, e .
Portanto o sinal em cada subintervalo:- Em
: → (crescente). - Em
: → (crescente). - Em
: → (decrescente). - Em
: → (decrescente).
- Em
Conclusão sobre monotonicidade:
-
é crescente em e em . -
é decrescente em e em .
Passo 6
Extremos relativos.
- Em
ocorre . Observando o sinal de antes e depois de : em o (a função sobe) e em o (a função desce). Isso caracteriza uma mudança de crescente para decrescente, logo é um ponto de máximo relativo. - Valor em
:
Portanto há um máximo relativo em
(ou seja, ponto
). Não há mínimos relativos, pois não há outro ponto crítico no domínio.
(Verificação alternativa com
: mais adiante veremos que
, o que confirma máximo.)
Passo 7
Derivada segunda: cálculo passo a passo e simplificação.
Partimos de . Usando produto e cadeia:
Partimos de
Explicando a segunda parte: a derivada de
é
(cadeia). Agora simplifica:
Fatorando
:
Portanto
Passo 8
Concavidade e pontos de inflexão a partir de
.
- Observação:
para todo . Assim o sinal de é o mesmo sinal de , isto é, é o sinal de . - Logo:
- Se
(isto é, ou ), então → → concavidade para cima. - Se
(isto é, ), então → → concavidade para baixo.
- Se
- Pontos de inflexão ocorrem onde
muda de sinal e o ponto pertence ao domínio. Aqui a mudança de sinal acontece nos pontos , mas esses pontos NÃO pertencem ao domínio. Além disso nunca é zero (numerador não nulo), portanto não há pontos no domínio onde . Conclusão: não existem pontos de inflexão no domínio de .
Passo 9
Resumo da informação para esboçar o gráfico (com dicas práticas de como desenhar).
- Assíntotas: verticais em
e ; horizontal em . - Monotonicidade:
- crescente em
e em ; - decrescente em
e em .
- crescente em
- Concavidade:
- côncava para cima em
e em ; - côncava para baixo em
.
- côncava para cima em
- Extremos: máximo relativo em
com (ponto ). Sem mínimos relativos. - Comportamento nas assíntotas:
-
, . -
, . -
e para grande aproximando-se de por cima.
-
- Observação útil para desenhar: trace as retas verticais
e como assíntotas; trace a reta horizontal ; em cada intervalo do domínio desenhe a curva respeitando monotonicidade e concavidade indicadas e os comportamentos nas bordas (valores infinitos ou aproximação a ). Em particular: - No ramo
: começa próximo de quando , sobe (crescente) e, sendo côncavo para cima, diverge para ao aproximar-se de pela esquerda. - No ramo
: sai de em , sobe (côncavo para baixo), atinge máximo em , depois desce (côncavo para baixo) e vai para em . - No ramo
: sai de em , desce (côncavo para cima) e aproxima-se de quando .
- No ramo
Passo 10
Checagens finais rápidas (para segurança):
- Verificar que
nunca atinge (resolvendo dá contradição), portanto a assíntota horizontal não é cortada pela curva. - Conferir
, confirmando que é um máximo relativo.
Resposta
(a) Assíntotas verticais:
e
. Assíntota horizontal:
.
(b) é crescente em
e
.
(c) é decrescente em
e
.
(d) é côncava para cima em
e
.
(e) é côncava para baixo em
.
(f) Extremo relativo: máximo relativo em com
(ponto
). Não há mínimos relativos.
(g) Não existem pontos de inflexão no domínio de .
(h) Esboço (descrição): ramo em aproximando-se de
quando
, crescente e côncavo para cima,
em
; ramo em
saindo de
em
, subindo côncavo para baixo até o máximo em
, descendo côncavo para baixo e
em
; ramo em
saindo de
em
, decrescente e côncavo para cima, aproximando-se de
quando
.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) Extremo relativo: máximo relativo em
(g) Não existem pontos de inflexão no domínio de
(h) Esboço (descrição): ramo em