8ª) Dada a função g: \mathbb{R}-\{-1,1\} \rightarrow \mathbb{R} g(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-1} determine:
a) As assíntotas horizontais e verticais;
b) O(s) intervalo(s) onde é crescente;
c) \mathrm{O}(\mathrm{s}) intervalo(s) onde é decrescente;
d) \mathrm{O}(\mathrm{s}) intervalo(s) onde é côncava para cima;
e) O(s) intervalo(s) onde é côncava para baixo;
f) Os extremos relativos (máximos e mínimos relativos);
g) O(s) ponto(s) de inflexão (se existir);
h) Use as informações encontradas para fazer um esboço do gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a função definida em \mathbb{R}\setminus\{-1,1\}:
g(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-1}.
Pede-se, separadamente:
(a) as assíntotas horizontais e verticais;
(b) os intervalos onde g é crescente;
(c) os intervalos onde g é decrescente;
(d) os intervalos onde g é côncava para cima;
(e) os intervalos onde g é côncava para baixo;
(f) os extremos relativos (máximos e mínimos relativos);
(g) os pontos de inflexão (se existirem);
(h) um esboço do gráfico usando as informações encontradas.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão algébrica de g(x) está acima.
  • O domínio explícito é \mathbb{R}\setminus\{-1,1\} (ou seja, x=\pm1 não pertencem ao domínio).

Passo 2

Assíntotas verticais: definição e cálculo pelo limite.
  • Uma reta vertical x=a é assíntota vertical quando a está fora do domínio e pelo menos um dos limites \lim_{x\to a^-}g(x) ou \lim_{x\to a^+}g(x) é infinito (positivo ou negativo).
  • Aqui x=\pm1 estão fora do domínio, então avaliar os limites laterais.
Cálculo dos limites em x=1:
\lim_{x\to1^+}g(x)=\lim_{x\to1^+}\frac{x^{2}}{x^{2}-1},\qquad \lim_{x\to1^-}g(x)=\lim_{x\to1^-}\frac{x^{2}}{x^{2}-1}.
Observação rápida: x^{2}-1=(x-1)(x+1). Perto de x=1 tem-se x^{2}\approx1 (positivo) e x+1\approx2 (positivo). Assim:
  • Para x\to1^+: x-1>0 pequeno → x^{2}-1>0 pequeno → denominador positivo pequeno → g(x)\to+\infty.
  • Para x\to1^-: x-1<0 pequeno → x^{2}-1<0 pequeno negativo → g(x)\to-\infty.
Cálculo dos limites em x=-1:
Perto de x=-1 tem-se x^{2}\approx1>0 e x-1\approx-2 (negativo).
  • Para x\to-1^+ (isto é, vindo pela direita de -1): x+1>0 pequeno e x-1<0 → produto (x+1)(x-1) é negativo pequeno → g(x)\to-\infty.
  • Para x\to-1^-: x+1<0 pequeno e x-1<0 → produto é positivo pequeno → g(x)\to+\infty.
Conclusão: existem assíntotas verticais em x=1 e x=-1.

Passo 3

Assíntota horizontal: método e cálculo.
  • Quando o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal (se existir) é y= razão dos coeficientes líderes.
    Aqui numerador e denominador são quadráticos com coeficiente líder 1 em ambos, logo a assíntota horizontal é y=1.
Uma outra verificação fácil: reescreve-se
\frac{x^{2}}{x^{2}-1}=1+\frac{1}{x^{2}-1},
logo
\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x^{2}-1}\right)=1.
Também observe que \dfrac{1}{x^{2}-1}>0 para |x|>1, então g(x)>1 quando |x|>1 e a aproximação a 1 se dá por valores maiores que 1.

Passo 4

Derivada primeira: regra do quociente e cálculo detalhado.
  • Regra do quociente: se h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u,v diferenciáveis e v\neq0, então
h'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}.
Aqui u(x)=x^{2}, v(x)=x^{2}-1. Tem-se u'(x)=2x e v'(x)=2x. Aplicando:
g'(x)=\frac{2x(x^{2}-1)-x^{2}\cdot 2x}{(x^{2}-1)^{2}} =\frac{2x\bigl(x^{2}-1-x^{2}\bigr)}{(x^{2}-1)^{2}} =\frac{-2x}{(x^{2}-1)^{2}}.

Passo 5

Monotonicidade a partir de g'(x).
  • As derivadas mudam de sinal onde g'(x)=0 ou onde g' não existe (aqui g' não existe exatamente em x=\pm1, mas esses pontos não pertencem ao domínio).
  • Resolver g'(x)=0:
\frac{-2x}{(x^{2}-1)^{2}}=0 \iff -2x=0 \iff x=0.
  • Sinais: o denominador (x^{2}-1)^{2} é sempre positivo para x\neq\pm1. Assim o sinal de g'(x) depende só do numerador -2x:
    • Se x<0 então -2x>0 g'(x)>0.
    • Se x>0 então -2x<0 g'(x)<0.
  • Lembre que o domínio está dividido em três intervalos: (-\infty,-1), (-1,1) e (1,\infty).
    Portanto o sinal em cada subintervalo:
    • Em (-\infty,-1): x<0 g'>0 (crescente).
    • Em (-1,0): x<0 g'>0 (crescente).
    • Em (0,1): x>0 g'<0 (decrescente).
    • Em (1,\infty): x>0 g'<0 (decrescente).
Conclusão sobre monotonicidade:
  • g é crescente em (-\infty,-1) e em (-1,0).
  • g é decrescente em (0,1) e em (1,\infty).

Passo 6

Extremos relativos.
  • Em x=0 ocorre g'(0)=0. Observando o sinal de g' antes e depois de 0: em (-1,0) o g'>0 (a função sobe) e em (0,1) o g'<0 (a função desce). Isso caracteriza uma mudança de crescente para decrescente, logo x=0 é um ponto de máximo relativo.
  • Valor em x=0:
g(0)=\frac{0^{2}}{0^{2}-1}=\frac{0}{-1}=0.
Portanto há um máximo relativo em (0,0) (ou seja, ponto \bigl(0,0\bigr)). Não há mínimos relativos, pois não há outro ponto crítico no domínio.
(Verificação alternativa com g''(0): mais adiante veremos que g''(0)=-2<0, o que confirma máximo.)

Passo 7

Derivada segunda: cálculo passo a passo e simplificação.
Partimos de g'(x)=-2x(x^{2}-1)^{-2}. Usando produto e cadeia:
g''(x)=-2\cdot (x^{2}-1)^{-2} + (-2x)\cdot\bigl(-2\bigr)(x^{2}-1)^{-3}\cdot(2x).
Explicando a segunda parte: a derivada de (x^{2}-1)^{-2} é -2(x^{2}-1)^{-3}\cdot 2x (cadeia). Agora simplifica:
g''(x)=-2(x^{2}-1)^{-2} + 8x^{2}(x^{2}-1)^{-3}.
Fatorando (x^{2}-1)^{-3}:
g''(x)=(x^{2}-1)^{-3}\bigl(-2(x^{2}-1)+8x^{2}\bigr) =(x^{2}-1)^{-3}\bigl(-2x^{2}+2+8x^{2}\bigr) =(x^{2}-1)^{-3}\cdot 2(3x^{2}+1).
Portanto
g''(x)=\frac{2(3x^{2}+1)}{(x^{2}-1)^{3}}.

Passo 8

Concavidade e pontos de inflexão a partir de g''(x).
  • Observação: 3x^{2}+1>0 para todo x. Assim o sinal de g''(x) é o mesmo sinal de (x^{2}-1)^{3}, isto é, é o sinal de x^{2}-1.
  • Logo:
    • Se |x|>1 (isto é, x\in(-\infty,-1) ou x\in(1,\infty)), então x^{2}-1>0 g''(x)>0 → concavidade para cima.
    • Se |x|<1 (isto é, x\in(-1,1)), então x^{2}-1<0 g''(x)<0 → concavidade para baixo.
  • Pontos de inflexão ocorrem onde g'' muda de sinal e o ponto pertence ao domínio. Aqui a mudança de sinal acontece nos pontos x=\pm1, mas esses pontos NÃO pertencem ao domínio. Além disso g''(x) nunca é zero (numerador não nulo), portanto não há pontos x no domínio onde g''(x)=0. Conclusão: não existem pontos de inflexão no domínio de g.

Passo 9

Resumo da informação para esboçar o gráfico (com dicas práticas de como desenhar).
  • Assíntotas: verticais em x=-1 e x=1; horizontal em y=1.
  • Monotonicidade:
    • crescente em (-\infty,-1) e em (-1,0);
    • decrescente em (0,1) e em (1,\infty).
  • Concavidade:
    • côncava para cima em (-\infty,-1) e em (1,\infty);
    • côncava para baixo em (-1,1).
  • Extremos: máximo relativo em x=0 com g(0)=0 (ponto (0,0)). Sem mínimos relativos.
  • Comportamento nas assíntotas:
    • \lim_{x\to-1^-}g(x)=+\infty, \lim_{x\to-1^+}g(x)=-\infty.
    • \lim_{x\to1^-}g(x)=-\infty, \lim_{x\to1^+}g(x)=+\infty.
    • \lim_{x\to\pm\infty}g(x)=1 e para |x| grande g(x)>1 aproximando-se de 1 por cima.
  • Observação útil para desenhar: trace as retas verticais x=-1 e x=1 como assíntotas; trace a reta horizontal y=1; em cada intervalo do domínio desenhe a curva respeitando monotonicidade e concavidade indicadas e os comportamentos nas bordas (valores infinitos ou aproximação a 1). Em particular:
    • No ramo (-\infty,-1): começa próximo de y=1^{+} quando x\to-\infty, sobe (crescente) e, sendo côncavo para cima, diverge para +\infty ao aproximar-se de -1 pela esquerda.
    • No ramo (-1,1): sai de -\infty em -1^{+}, sobe (côncavo para baixo), atinge máximo em (0,0), depois desce (côncavo para baixo) e vai para -\infty em 1^{-}.
    • No ramo (1,\infty): sai de +\infty em 1^{+}, desce (côncavo para cima) e aproxima-se de y=1^{+} quando x\to+\infty.

Passo 10

Checagens finais rápidas (para segurança):
  • Verificar que g(x)=1+\dfrac{1}{x^{2}-1} nunca atinge y=1 (resolvendo g(x)=1 dá contradição), portanto a assíntota horizontal não é cortada pela curva.
  • Conferir g''(0)=\dfrac{2(3\cdot 0^{2}+1)}{(0^{2}-1)^{3}}=\dfrac{2}{(-1)^{3}}=-2<0, confirmando que x=0 é um máximo relativo.

Resposta

(a) Assíntotas verticais: x=-1 e x=1. Assíntota horizontal: y=1.
(b) g é crescente em (-\infty,-1) e (-1,0).
(c) g é decrescente em (0,1) e (1,\infty).
(d) g é côncava para cima em (-\infty,-1) e (1,\infty).
(e) g é côncava para baixo em (-1,1).
(f) Extremo relativo: máximo relativo em x=0 com g(0)=0 (ponto \bigl(0,0\bigr)). Não há mínimos relativos.
(g) Não existem pontos de inflexão no domínio de g.
(h) Esboço (descrição): ramo em (-\infty,-1) aproximando-se de y=1^{+} quando x\to-\infty, crescente e côncavo para cima, \to+\infty em -1^{-}; ramo em (-1,1) saindo de -\infty em -1^{+}, subindo côncavo para baixo até o máximo em (0,0), descendo côncavo para baixo e \to-\infty em 1^{-}; ramo em (1,\infty) saindo de +\infty em 1^{+}, decrescente e côncavo para cima, aproximando-se de y=1^{+} quando x\to+\infty.

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