Derive as seguintes funções:
f(u)=\frac{\operatorname{sec} (2 u)}{1+\operatorname{tg}(2 u)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(u)=\frac{\operatorname{sec}(2u)}{1+\tan(2u)}.
Informações dadas:
  • A função é racional em termos de funções trigonométricas \operatorname{sec} e \tan avaliadas em 2u.
  • A tarefa é calcular f'(u), a derivada em relação a u.

Passo 2

Primeiro faça uma simplificação algébrica que facilita muito a diferenciação. Use as identidades \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} e \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Aplicando em \operatorname{sec}(2u) e \tan(2u) obtenho:
f(u)=\frac{\dfrac{1}{\cos(2u)}}{1+\dfrac{\sin(2u)}{\cos(2u)}}.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador \cos(2u) no numerador e no denominador da fração:
f(u)=\frac{\dfrac{1}{\cos(2u)}}{\dfrac{\cos(2u)+\sin(2u)}{\cos(2u)}}.
Cancelando \dfrac{1}{\cos(2u)} com o \dfrac{1}{\cos(2u)} do denominador obtemos a forma simplificada
f(u)=\frac{1}{\cos(2u)+\sin(2u)}.

Passo 3

Agora vamos diferenciar \;f(u)=\big(\cos(2u)+\sin(2u)\big)^{-1}\;.
Explico a ferramenta que vamos usar: regra da cadeia para função do tipo g(u)=[h(u)]^{-1}. Se g(u)=(h(u))^{-1}, então
g'(u)=-1\cdot(h(u))^{-2}\cdot h'(u) = -\frac{h'(u)}{(h(u))^{2}}.
Aqui h(u)=\cos(2u)+\sin(2u). Precisamos calcular h'(u). Para isso usamos:
  • Derivada de \cos(x) em relação a x é -\sin(x).
  • Derivada de \sin(x) em relação a x é \cos(x).
  • Quando a variável é 2u aplicamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{du}\cos(2u)=-\sin(2u)\cdot 2 e \dfrac{d}{du}\sin(2u)=\cos(2u)\cdot 2.

Passo 4

Calcule h'(u):
h'(u)=\frac{d}{du}\big(\cos(2u)+\sin(2u)\big)= -2\sin(2u)+2\cos(2u).
Fatorando 2:
h'(u)=2\big(\cos(2u)-\sin(2u)\big).

Passo 5

Aplique a regra da cadeia (ou a fórmula do passo 3) para obter f'(u):
f'(u)=-\frac{h'(u)}{\big(h(u)\big)^{2}} = -\frac{2\big(\cos(2u)-\sin(2u)\big)}{\big(\cos(2u)+\sin(2u)\big)^{2}}.
Se preferir, pode tirar o sinal menos para dentro e escrever de forma equivalente:
f'(u)=\frac{2\big(\sin(2u)-\cos(2u)\big)}{\big(\cos(2u)+\sin(2u)\big)^{2}}.

Resposta

f'(u)=-\frac{2\big(\cos(2u)-\sin(2u)\big)}{\big(\cos(2u)+\sin(2u)\big)^{2}}

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