Derive as seguintes funções:
f(u)=\frac{\operatorname{sec} (2 u)}{1+\operatorname{tg}(2 u)}
f(u)=\frac{\operatorname{sec} (2 u)}{1+\operatorname{tg}(2 u)}
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas:
- A função é racional em termos de funções trigonométricas
e avaliadas em . - A tarefa é calcular
, a derivada em relação a .
Passo 2
Primeiro faça uma simplificação algébrica que facilita muito a diferenciação. Use as identidades
e
. Aplicando em
e
obtenho:
Colocando tudo sobre o mesmo denominador
no numerador e no denominador da fração:
Cancelando
com o
do denominador obtemos a forma simplificada
Passo 3
Agora vamos diferenciar
Explico a ferramenta que vamos usar: regra da cadeia para função do tipo . Se
, então
Explico a ferramenta que vamos usar: regra da cadeia para função do tipo
Aqui
. Precisamos calcular
. Para isso usamos:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Quando a variável é
aplicamos a regra da cadeia: e .
Passo 4
Calcule
:
Fatorando
:
Passo 5
Aplique a regra da cadeia (ou a fórmula do passo 3) para obter
:
Se preferir, pode tirar o sinal menos para dentro e escrever de forma equivalente: