3ª) Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} um operador linear tal que T(1,0,0)=(2,3,1), T(1,1,0)=(5,2,7) e T(1,1,1)=(-2,0,7).
a) Encontre T(x, y, z)
b) T é sobrejetora? Justifique sua resposta.
c) T é injetora? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado nos dá um operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cujos valores em três vetores são conhecidos: T(1,0,0)=(2,3,1), T(1,1,0)=(5,2,7) e T(1,1,1)=(-2,0,7).
Precisamos (a) obter a fórmula geral de T(x,y,z), (b) verificar se T é sobrejetora e (c) se T é injetora. Para isso vamos usar linearidade, base canônica, determinante e argumentos de dimensão.
Passo 2
Primeiro encontramos as imagens de e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0) e e_3=(0,0,1). Já temos
T(e_1)=T(1,0,0)=(2,3,1).
Como T(1,1,0)=T(e_1+e_2)=T(e_1)+T(e_2), segue
T(e_2)=T(1,1,0)-T(e_1)=(5,2,7)-(2,3,1)=(3,-1,6).
E como T(1,1,1)=T(e_1+e_2+e_3)=T(e_1)+T(e_2)+T(e_3), vem
Como \det A\neq0, \operatorname{rank}(A)=3, logo \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^3 e T é sobrejetora.
Passo 5
Em espaços vetoriais de mesma dimensão, um operador linear é injetor se e somente se for sobrejetor. Alternativamente, \det A\neq0 implica \ker T=\{0\}. Portanto T é injetora.
Resposta
(a) \displaystyle T(x,y,z)=(2x+3y-7z,\;3x - y -2z,\;x+6y).
(b) Sim. Como \det A=-115\neq0, o posto de T é 3 e \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^3.
(c) Sim. Em dimensão 3, \det A\neq0 assegura \ker T=\{0\}, logo T é injetora.