3ª) Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} um operador linear tal que T(1,0,0)=(2,3,1), T(1,1,0)=(5,2,7) e T(1,1,1)=(-2,0,7).
a) Encontre T(x, y, z)
b) T é sobrejetora? Justifique sua resposta.
c) T é injetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cujos valores em três vetores são conhecidos: T(1,0,0)=(2,3,1), T(1,1,0)=(5,2,7) e T(1,1,1)=(-2,0,7).
Precisamos (a) obter a fórmula geral de T(x,y,z), (b) verificar se T é sobrejetora e (c) se T é injetora. Para isso vamos usar linearidade, base canônica, determinante e argumentos de dimensão.

Passo 2

Primeiro encontramos as imagens de e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0) e e_3=(0,0,1). Já temos
T(e_1)=T(1,0,0)=(2,3,1).
Como T(1,1,0)=T(e_1+e_2)=T(e_1)+T(e_2), segue
T(e_2)=T(1,1,0)-T(e_1)=(5,2,7)-(2,3,1)=(3,-1,6).
E como T(1,1,1)=T(e_1+e_2+e_3)=T(e_1)+T(e_2)+T(e_3), vem
T(e_3)=T(1,1,1)-\bigl[T(e_1)+T(e_2)\bigr]=(-2,0,7)-\bigl((2,3,1)+(3,-1,6)\bigr)=(-7,-2,0).

Passo 3

Usando linearidade, para qualquer (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 temos
T(x,y,z)=x\,T(e_1)+y\,T(e_2)+z\,T(e_3).
Substituindo as componentes encontradas,
T(x,y,z)=(2x+3y-7z,\;3x - y -2z,\; x+6y+0\cdot z).

Passo 4

A matriz de T na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -7\\\\ 3 & -1 & -2\\\\ 1 & 6 & 0 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante:
\det A =2\begin{vmatrix}-1 & -2\\\ 6 & 0\end{vmatrix} -3\begin{vmatrix}3 & -2\\\ 1 & 0\end{vmatrix} -7\begin{vmatrix}3 & -1\\\ 1 & 6\end{vmatrix} =2(12)-3(2)-7(19)=24-6-133=-115\neq0.
Como \det A\neq0, \operatorname{rank}(A)=3, logo \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^3 e T é sobrejetora.

Passo 5

Em espaços vetoriais de mesma dimensão, um operador linear é injetor se e somente se for sobrejetor. Alternativamente, \det A\neq0 implica \ker T=\{0\}. Portanto T é injetora.

Resposta

(a) \displaystyle T(x,y,z)=(2x+3y-7z,\;3x - y -2z,\;x+6y).
(b) Sim. Como \det A=-115\neq0, o posto de T é 3 e \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^3.
(c) Sim. Em dimensão 3, \det A\neq0 assegura \ker T=\{0\}, logo T é injetora.

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