4́ㅡㄴ) Determine um operador linear em M_{2}(\mathbb{R}) cujo núcleo é gerado pelos vetores v_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right) e v_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede um operador linear \;T\colon M_{2}(\mathbb{R})\to V
(onde V pode ser, por exemplo, \mathbb{R}^2) tal que \ker T=\mathrm{span}\{v_{1},v_{2}\},
sendo
O conteúdo usado aqui é o conceito de núcleo (kernel) de transformação linear e a construção de T a partir de condições lineares que definem esse núcleo.
Passo 2
Escrevemos uma matriz genérica
M=\begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix}.
Queremos que M\in\ker T se e somente se M estiver na forma \alpha\,v_{1}+\beta\,v_{2}. Isto significa
Logo \mathrm{span}\{v_{1},v_{2}\}\subseteq\ker T.
Como exigimos duas condições independentes em um espaço de dimensão 4, \dim\ker T=2, então \ker T=\mathrm{span}\{v_{1},v_{2}\}.