4́ㅡㄴ) Determine um operador linear em M_{2}(\mathbb{R}) cujo núcleo é gerado pelos vetores v_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right) e v_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede um operador linear \;T\colon M_{2}(\mathbb{R})\to V
(onde V pode ser, por exemplo, \mathbb{R}^2) tal que \ker T=\mathrm{span}\{v_{1},v_{2}\},
sendo
v_{1}=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \quad v_{2}=\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.
O conteúdo usado aqui é o conceito de núcleo (kernel) de transformação linear e a construção de T a partir de condições lineares que definem esse núcleo.

Passo 2

Escrevemos uma matriz genérica
M=\begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix}.
Queremos que M\in\ker T se e somente se M estiver na forma \alpha\,v_{1}+\beta\,v_{2}. Isto significa
M=\begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix} = \alpha\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha & \alpha\\beta & 0\end{pmatrix}.
Comparando componentes, as condições para estar no núcleo são
a=b \quad\text{e}\quad d=0.

Passo 3

Para impor essas duas condições simultaneamente, definimos
T\colon M_{2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^2, \qquad T\bigl(\begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix}\bigr) = \bigl(a - b,\;d\bigr).
Este T é linear pois cada componente é combinação linear dos entrantes a,b,c,d.

Passo 4

Verificamos que
T(v_{1})=T\bigl(\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix}\bigr) =(1-1,\,0)=(0,0), \quad T(v_{2})=T\bigl(\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix}\bigr) =(0-0,\,0)=(0,0).
Logo \mathrm{span}\{v_{1},v_{2}\}\subseteq\ker T.
Como exigimos duas condições independentes em um espaço de dimensão 4, \dim\ker T=2, então \ker T=\mathrm{span}\{v_{1},v_{2}\}.

Resposta

Definindo
T\colon M_{2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^2, \qquad T\bigl(\begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix}\bigr) = \bigl(a - b,\;d\bigr),
temos \ker T=\mathrm{span}\{v_{1},v_{2}\}.

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