3.30 Certo gás perfeito tem C_{V_{\mathrm{m}}}=a+b T, onde a=25,0 \mathrm{~J} /(\mathrm{mol} \mathrm{K}) e b=0.0300 \mathrm{~J} /\left(\mathrm{mol} \mathrm{K}{ }^{2}\right. ). Considere que 4.00 mol desse gás vão de 300 K e 2,00 \mathrm{~atm} para 500 K e 3,00 \mathrm{~atm}. Calcule cada uma das seguintes grandezas para essa mudança de estado. Se for impossivel calcular uma grandeza a partir da informação fomecida, explique isso. (a) q; (b) w; (c) \Delta U; (d) \Delta H; (e) \Delta S.

Passo 1

O enunciado descreve um gás ideal com capacidade calorífica molar a volume constante dependente da temperatura, dada por
C_{V,m}(T)=a+b\,T
com a=25,0\\ \mathrm{J/(mol\,K)} e b=0,0300\\ \mathrm{J/(mol\,K^2)}. Há n=4{,}00 mol passando de (T_1=300\\ \mathrm{K},P_1=2,00\\ \mathrm{atm}) para (T_2=500\\ \mathrm{K},P_2=3,00\\ \mathrm{atm}). Vamos calcular: (a) q; (b) w; (c) \Delta U; (d) \Delta H; (e) \Delta S.

Passo 2

Para q: Como a transformação não foi especificada (por exemplo, isobárica, isotérmica etc.), o calor trocado q depende do caminho. Logo, não é possível calcular q apenas com os dados de estado.
Para w: O trabalho w também depende do caminho (integral de P\,dV sob um caminho específico). Sem informação do processo, não é possível calcular w.

Passo 3

Para \Delta U: Sabendo que \Delta U=n\!\displaystyle\int_{T_1}^{T_2}C_{V,m}(T)\,dT, temos
\Delta U = n\Bigl[a\,(T_2-T_1)+\tfrac{b}{2}\bigl(T_2^2-T_1^2\bigr)\Bigr].
Substituindo valores:
T_2-T_1=200,\quad T_2^2-T_1^2=500^2-300^2=160000,
\Delta U =4{,}00\Bigl[25{,}0\cdot200+0{,}0300\cdot\tfrac{160000}{2}\Bigr] =4{,}00\bigl[5000+2400\bigr] =4{,}00\times7400 =2,96\times10^4\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Para \Delta H: Usa-se \Delta H=\Delta U+nR\Delta T ou C_{P,m}=C_{V,m}+R. Assim
\Delta H =n\Bigl[(a+R)(T_2-T_1)+\tfrac{b}{2}(T_2^2-T_1^2)\Bigr].
Com R=8,314\\ \mathrm{J/(mol\,K)}:
\Delta H =4{,}00\bigl[(25{,}0+8,314)\,200+0{,}0300\cdot80000\bigr] =4{,}00\bigl[33{,}314\cdot200+2400\bigr] =4{,}00\times9062,8 =3,63\times10^4\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Para \Delta S de um gás ideal com C_V(T) variável, usa-se
dS=\frac{C_{V,m}(T)}{T}dT+R\,\frac{dV}{V}.
Integrando de 1 a 2 e usando V\propto T/P:
\Delta S =n\Bigl[\! \int_{T_1}^{T_2}\frac{a+bT}{T}dT +R\ln\frac{V_2}{V_1}\Bigr] =n\bigl[a\ln\frac{T_2}{T_1}+b(T_2-T_1)+R\ln\frac{T_2/P_2}{T_1/P_1}\bigr].
Como \ln\frac{T_2/P_2}{T_1/P_1}=\ln\frac{T_2}{T_1}+\ln\frac{P_1}{P_2}, obtemos numericamente:
\ln\frac{T_2}{T_1}=\ln\frac{500}{300}=0,5108,\quad \ln\frac{P_1}{P_2}=\ln\frac{2,00}{3,00}=-0,4055,
\Delta S =4{,}00\Bigl[25{,}0\cdot0,5108+0{,}0300\cdot200 +8,314\bigl(0,5108-0,4055\bigr)\Bigr] \approx4{,}00\times19,65 =78,6\\ \mathrm{J/K}.

Resposta

(a) impossível determinar
(b) impossível determinar
(c) \Delta U=2,96\times10^4\\ \mathrm{J}
(d) \Delta H=3,63\times10^4\\ \mathrm{J}
(e) \Delta S=78,6\\ \mathrm{J/K}

Exercícios relacionados