3.30 Certo gás perfeito tem C_{V_{\mathrm{m}}}=a+b T, onde a=25,0 \mathrm{~J} /(\mathrm{mol} \mathrm{K}) e b=0.0300 \mathrm{~J} /\left(\mathrm{mol} \mathrm{K}{ }^{2}\right. ). Considere que 4.00 mol desse gás vão de 300 K e 2,00 \mathrm{~atm} para 500 K e 3,00 \mathrm{~atm}. Calcule cada uma das seguintes grandezas para essa mudança de estado. Se for impossivel calcular uma grandeza a partir da informação fomecida, explique isso. (a) q; (b) w; (c) \Delta U; (d) \Delta H; (e) \Delta S.

Passo 1

O enunciado dá um gás perfeito de n=4{,}00 mol, com capacidade calorífica molar a volume constante
C_{V_{\mathrm{m}}}(T)=a+bT,
onde a=25{,}0\;\mathrm{J/(mol\,K)} e b=0{,}0300\;\mathrm{J/(mol\,K^2)}. O gás passa de (T_1,P_1)=(300\;\mathrm K,\;2{,}00\;\mathrm{atm}) para (T_2,P_2)=(500\;\mathrm K,\;3{,}00\;\mathrm{atm}). Vamos usar:
  1. Para q e w não há caminho definido, logo não podemos calcular.
  2. A variação de energia interna de um gás ideal é
\Delta U = n\int_{T_1}^{T_2}C_{V_{\mathrm{m}}}(T)\,dT.
  1. A variação de entalpia de um gás ideal é
\Delta H = n\int_{T_1}^{T_2}\bigl[C_{V_{\mathrm{m}}}(T)+R\bigr]\,dT.
  1. A variação de entropia entre dois estados pode ser calculada por
\Delta S = n\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_{V_{\mathrm{m}}}(T)}{T}\,dT \;+\; nR\ln\frac{V_2}{V_1},
onde
\frac{V_2}{V_1}=\frac{P_1\,T_2}{P_2\,T_1}.

Passo 2

Não podemos determinar q nem w pois ambas dependem do caminho termodinâmico, que não foi especificado.

Passo 3

Calcular \Delta U:
\Delta U = n\int_{T_1}^{T_2}(a+bT)\,dT = n\Bigl[a\,(T_2-T_1)+\tfrac b2\,(T_2^2-T_1^2)\Bigr].
Substituindo valores:
T_2-T_1=200\;\mathrm K,\quad T_2^2-T_1^2=500^2-300^2=160\,000\;\mathrm{K^2},
a\,(T_2-T_1)=25{,}0\cdot200=5\,000\;\mathrm{J/mol}, \quad \tfrac b2\,(T_2^2-T_1^2)=0{,}0300/2\cdot160\,000=2\,400\;\mathrm{J/mol},
\Delta U =4\bigl(5\,000+2\,400\bigr)=4\cdot7\,400=29\,600\;\mathrm J.

Passo 4

Calcular \Delta H via
\Delta H = n\int_{T_1}^{T_2}\bigl[(a+bT)+R\bigr]\,dT = \Delta U + nR\,(T_2-T_1).
Como R=8{,}314\;\mathrm{J/(mol\,K)},
nR\,(T_2-T_1)=4\cdot8{,}314\cdot200=6\,651{,}2\;\mathrm J,
\Delta H=29\,600+6\,651{,}2=36\,251{,}2\;\mathrm J\approx3{,}63\times10^4\;\mathrm J.

Passo 5

Calcular \Delta S. Primeiro a razão de volumes:
\frac{V_2}{V_1}=\frac{P_1\,T_2}{P_2\,T_1} =\frac{2{,}00\cdot500}{3{,}00\cdot300}=1{,}1111, \quad \ln\frac{V_2}{V_1}=0{,}10536.
Agora
\Delta S = n\int_{T_1}^{T_2}\frac{a+bT}{T}\,dT + nR\ln\frac{V_2}{V_1} = n\Bigl[a\ln\frac{T_2}{T_1}+b\,(T_2-T_1)\Bigr] + nR\ln\frac{V_2}{V_1}.
Numericamente:
\ln\frac{T_2}{T_1}=\ln\frac{500}{300}=0{,}5108, \quad a\ln\frac{T_2}{T_1}=25\cdot0{,}5108=12{,}77\;\mathrm{J/(mol\,K)},
b\,(T_2-T_1)=0{,}0300\cdot200=6{,}00\;\mathrm{J/(mol\,K)},
n\bigl(12{,}77+6{,}00\bigr)=4\cdot18{,}77=75{,}08\;\mathrm{J/K}, \quad nR\ln\frac{V_2}{V_1}=4\cdot8{,}314\cdot0{,}10536=3{,}508\;\mathrm{J/K},
\Delta S=75{,}08+3{,}508=78{,}588\;\mathrm{J/K}\approx78{,}6\;\mathrm{J/K}.

Resposta

(a) impossível calcular q (depende do caminho).
(b) impossível calcular w (depende do caminho).
(c) \displaystyle \Delta U=2{,}96\times10^{4}\;\mathrm J.
(d) \displaystyle \Delta H=3{,}63\times10^{4}\;\mathrm J.
(e) \displaystyle \Delta S=78{,}6\;\mathrm{J/K}.

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