(2,0 pts) Considere o forjamento a frio para fazer a cabeça de um prego. O diâmetro do arame para fabricação de pregos é de 5,0 \mathrm{~mm}. A cabeça do prego deve ter um diâmetro de 9,5 \mathrm{~mm} \mathrm{e} espessura de 1,0 \mathrm{~mm}. Qual a força necessária para realizar a operação?
Dados: \sigma_{y}=600 \varepsilon^{0,22}(\mathrm{MPa}) ; \mu=0,14

Passo 1

O enunciado pede a força de forjamento a frio para “inchar” a cabeça de um prego. Começamos com um arame de diâmetro \,d_0=5{,}0\\ \mathrm{mm}, seção inicial A_0, e queremos uma cabeça de diâmetro \,d_1=9{,}5\\ \mathrm{mm} e espessura h=1{,}0\\ \mathrm{mm}. O conteúdo é mecânica dos metais plásticos: vamos usar conservação de volume, deformação plástica (verdadeira), a lei de Esforço-deformação \sigma =600\,\varepsilon^{0,22} e um fator de atrito \mu=0,14 para estimar a carga de forja.

Passo 2

Calcular as áreas inicial e final e o comprimento inicial da região deformada por conservação de volume.
A_0 = \pi\Bigl(\frac{d_0}{2}\Bigr)^2 = \pi(2{,}5)^2\approx19{,}63\\ \mathrm{mm}^2,
A_1 = \pi\Bigl(\frac{d_1}{2}\Bigr)^2 = \pi(4{,}75)^2\approx70{,}88\\ \mathrm{mm}^2.
Como o volume é conservado, A_0 L = A_1 h, logo o comprimento inicial
L = \frac{A_1\,h}{A_0} =\frac{70{,}88\cdot1{,}0}{19{,}63}\approx3{,}61\\ \mathrm{mm}.

Passo 3

Determinar a deformação plástica verdadeira média no aperto:
\varepsilon = \ln\!\bigl(\tfrac{L}{h}\bigr) = \ln(3{,}61)\approx1{,}283.

Passo 4

Calcular o esforço médio de escoamento \sigma_{\mathrm{méd}}é usando a lei dada e a fórmula do esforço médio para lei em forma de potência:
\sigma_{\mathrm{méd}} =\frac{K}{n+1}\,\varepsilon^n,é
com K=600\\ \mathrm{MPa} e n=0,22. Então
\varepsilon^n = 1{,}283^{0,22}\approx1{,}056, \quad \sigma_{\mathrm{méd}} =\frac{600}{1{,}22}\times1{,}056 \approx519{,}7\\ \mathrm{MPa}.é

Passo 5

Incluir correção de atrito. O fator aproximado para carga de aperto é
C_{\mu}=1+2\,\mu\,\frac{h}{d_0} =1+2\cdot0{,}14\cdot\frac{1{,}0}{5{,}0} =1{,}056.

Passo 6

Agora a força de forjamento é
F = \sigma_{\mathrm{méd}}\;A_1\;C_{\mu} =519{,}7\\ \mathrm{MPa}\times70{,}88\\ \mathrm{mm}^2\times1{,}056.é
Convertendo \mathrm{MPa}\!\cdot\!\mathrm{mm}^2\to\mathrm{N}:
F \approx519{,}7\times70{,}88\times1{,}056 \approx3{,}89\times10^4\\ \mathrm{N}.

Resposta

A força necessária é aproximadamente
F\approx3{,}9\times10^4\\ \mathrm{N}.

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