Tem sentido um fazer d^3 rd t^3 ?

Passo 1

O enunciado pergunta se faz sentido calcular
d^3vec rdt^3
Isso envolve cinemática vetorial e o conceito de derivadas sucessivas de um vetor posição vec r(t).

Passo 2

A primeira derivada de vec r(t) em relação a t é a velocidade
vec v(t)=dvec rdt
Aqui aplicamos a derivada componente a componente de vec r(t).

Passo 3

A segunda derivada é a aceleração
vec a(t)=dvec vdt=d^2vec rdt^2
Novamente, cada componente de vec v(t) é derivada em relação a t.

Passo 4

A terceira derivada é o chamado jerk (ou jolt):
vec j(t)=dvec adt=d^3vec rdt^3
Fisicamente, vec j(t) mede a taxa de variação da aceleração e é importante em projetos mecânicos e sistemas de controle para avaliar conforto, vibração e estabilidade.

Passo 5

Não há limitação matemática em continuar: a quarta derivada é o snap ( d^4vec rdt^4), depois vêm crackle, pop etc. Eles têm nomes humorísticos, mas a operação de derivada sucessiva segue normalmente.

Resposta

Sim. A derivada
d^3vec rdt^3
é perfeitamente bem definida e corresponde ao vetor jerk, a taxa de variação da aceleração.

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