Determine as raízes do seguinte polinômio usando o método do lugar das raízes:
3 s^{4}+10 s^{3}+21 s^{2}+24 s-16=0 .

Passo 1

O enunciado pede para achar as raízes do polinômio
3s^4 + 10s^3 + 21s^2 + 24s -16 = 0
usando o método do lugar das raízes (root locus). O conteúdo principal é reformular essa equação como uma equação característica de malha fechada
1 + K\,G(s) = 0
e então, para o valor de ganho K que reproduz o termo “ -16”, traçar o lugar das raízes e extrair as raízes fechadas.

Passo 2

Escrevemos
3s^4 + 10s^3 + 21s^2 + 24s -16 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 3s^4 + 10s^3 + 21s^2 + 24s + K = 0
onde, comparando, vemos que K = -(-16)=16.
Logo a equação característica fica
1 + K\,G(s) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 1 + 16\,\frac{1}{3s^4 + 10s^3 + 21s^2 + 24s} = 0.
Portanto
G(s) = \frac{1}{3s^4 + 10s^3 + 21s^2 + 24s}, \quad K = 16.

Passo 3

Os polos de G(s) são as raízes de
3s^4 + 10s^3 + 21s^2 + 24s = s\,(3s^3 + 10s^2 + 21s + 24).
Numericamente obtém-se
  • um polo real em s_1=0,
  • um polo real em s_2\approx -1{,}882,
  • e um par de polos complexos em s_{3,4}\approx -0{,}726 \pm j\,1{,}930.
Não há zeros finitos.

Passo 4

No lugar das raízes para K\ge0:
  • Partem quatro ramos dos polos acima;
  • Não há zeros finitos, então todos vão para o infinito segundo quatro assíntotas de ângulos \tfrac{(2k+1)\pi}{4}, k=0,1,2,3, com centro (baricentro) em \sigma_{\text{cent}} = \frac{0 + (-1{,}882) + 2\cdot(-0{,}726)}{4} \approx -0{,}8335.
  • No eixo real, para K>0 existe um ramo real em (0,+\infty) (pois somente ali há número ímpar de polos à direita).
Quando K ultrapassa o valor de breakaway em s=-1 (para o qual K=10), dois ramos reais se afastam pelo plano complexo. Para K=16 aguardamos:
  1. um ramo real positivo em (0,+\infty),
  2. um ramo real negativo que aparece por cruzamento do eixo real,
  3. e dois ramos complexos conjugados.

Passo 5

Para achar as raízes reais resolvemos diretamente
3s^4 + 10s^3 + 21s^2 + 24s -16 = 0
em cada semieixo real, buscando mudança de sinal:
  1. Em s>0:
    f(0)=-16<0,\quad f(0{,}5)\approx 2{,}69>0
    portanto há uma raiz em (0,0{,}5). Refinando por bisseção, obtemos
    s\approx 0{,}448.
  2. Em s<0:
    f(-2)\approx -12<0,\quad f(-2{,}3)\approx 2{,}17>0
    logo há uma raiz em (-2{,}3,-2). Refinando, achamos
    s\approx -2{,}262.

Passo 6

Para as duas raízes restantes, dividimos o polinômio original pelo fator aproximado dos dois reais:
( s - 0{,}448)\,(s + 2{,}262 ) = s^2 + 1{,}814\,s -1{,}014.
Fazendo a divisão de polinômios
\frac{3s^4 + 10s^3 + 21s^2 + 24s -16} {s^2 + 1{,}814\,s -1{,}014} \;=\; 3s^2 + 4{,}14\,s + 16{,}29
e então resolver
3s^2 + 4{,}14\,s + 16{,}29 = 0
pelo segundo-grau, resulta
s = \frac{-4{,}14 \pm \sqrt{(4{,}14)^2 - 4\cdot3\cdot16{,}29}}{2\cdot3} \;\approx\; -0{,}760 \pm j\,2{,}166.

Resposta

As quatro raízes do polinômio
3s^4 + 10s^3 + 21s^2 + 24s -16 = 0
são, aproximadamente:
s_1 \approx 0{,}448, \quad s_2 \approx -2{,}262, \quad s_{3,4} \approx -0{,}760 \pm j\,2{,}166.

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