Determine as raízes do seguinte polinômio usando o método do lugar das raízes:
Passo 1
O enunciado pede para achar as raízes do polinômio
usando o método do lugar das raízes (root locus). O conteúdo principal é reformular essa equação como uma equação característica de malha fechada
e então, para o valor de ganho
que reproduz o termo “
”, traçar o lugar das raízes e extrair as raízes fechadas.
Passo 2
Escrevemos
onde, comparando, vemos que
.
Logo a equação característica fica
Logo a equação característica fica
Portanto
Passo 3
Os polos de
são as raízes de
Numericamente obtém-se
- um polo real em
, - um polo real em
, - e um par de polos complexos em
Não há zeros finitos.
Passo 4
No lugar das raízes para
:
- Partem quatro ramos dos polos acima;
- Não há zeros finitos, então todos vão para o infinito segundo quatro assíntotas de ângulos
, , com centro (baricentro) em - No eixo real, para
existe um ramo real em (pois somente ali há número ímpar de polos à direita).
Quando
ultrapassa o valor de breakaway em
(para o qual
), dois ramos reais se afastam pelo plano complexo. Para
aguardamos:
- um ramo real positivo em
, - um ramo real negativo que aparece por cruzamento do eixo real,
- e dois ramos complexos conjugados.
Passo 5
Para achar as raízes reais resolvemos diretamente
em cada semieixo real, buscando mudança de sinal:
-
Em
: portanto há uma raiz em. Refinando por bisseção, obtemos -
Em
: logo há uma raiz em. Refinando, achamos
Passo 6
Para as duas raízes restantes, dividimos o polinômio original pelo fator aproximado dos dois reais:
Fazendo a divisão de polinômios
e então resolver
pelo segundo-grau, resulta
Resposta
As quatro raízes do polinômio
são, aproximadamente: