3.33 For each system \mathscr{K} and the functions \left\{x_{k}\right\} given below, determine if each of the x_{k} is an eigenfunction of \mathscr{K}, and if it is, also state the corresponding eigenvalue.
\mathcal{H} x(t)=x^{2}(t), x_{1}(t)=a, x_{2}(t)=e^{-a t}, and x_{3}(t)=\cos t, where a is a complex constant;

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado pede e quais são as informações dadas.
  • O operador linear (ou melhor: operador não linear) é \mathcal{H} definido por
\mathcal{H}x(t)=x^{2}(t).
  • As funções dadas são:
    • x_{1}(t)=a, onde a é uma constante complexa;
    • x_{2}(t)=e^{-a t}, com o mesmo a complexo;
    • x_{3}(t)=\cos t.
  • O que se pede: para cada x_{k} determinar se é uma autofunção (eigenfunction) de \mathcal{H}; se for, indicar o autovalor correspondente.

Passo 2

O que significa ser autofunção para um operador? Explicando passo a passo, com calma:
  • Dizemos que x é uma autofunção de \mathcal{H} com autovalor \lambda se, e somente se,
\mathcal{H}x(t)=\lambda\,x(t)
para todo t do domínio considerado, onde \lambda é um número complexo (escala) que não depende de t.
  • Importante: a função nula x\equiv0 normalmente NÃO é aceita como autofunção (porque para ela qualquer \lambda satisfaz a igualdade trivialmente). Então precisamos da função não nula.
  • Estratégia prática: para cada x_{k} calcular x_{k}^{2}(t) e ver se existe um escalar \lambda independente de t tal que
x_{k}^{2}(t)=\lambda\,x_{k}(t)\quad\text{para todo }t.
  • Se for possível isolar \lambda e ele não depender de t (e a função não for a função zero), então x_{k} é autofunção e esse \lambda é o autovalor.

Passo 3

Análise de x_{1}(t)=a.
  • Calcular a imagem pelo operador:
\mathcal{H}x_{1}(t)=x_{1}^{2}(t)=a^{2}.
  • Queremos \mathcal{H}x_{1}(t)=\lambda x_{1}(t), isto é
a^{2}=\lambda a.
  • Se a\neq0 podemos dividir por a e obter
\lambda=a.
Logo, quando a\neq0 a função constante x_{1}(t)=a é uma autofunção de \mathcal{H} com autovalor \lambda=a.
  • Se a=0 então x_{1}\equiv0. A função zero não é considerada autofunção (pela definição usual), então para a=0 não há autovalor associado (ou melhor: não se conta como autofunção).

Passo 4

Análise de x_{2}(t)=e^{-a t}.
  • Calcular a imagem:
\mathcal{H}x_{2}(t)=x_{2}^{2}(t)=e^{-2a t}.
  • Procuramos \lambda tal que
e^{-2a t}=\lambda e^{-a t}\quad\text{para todo }t.
  • Se e^{-a t} nunca é zero (o que é verdade para exponenciais), podemos dividir ambas as mãos por e^{-a t} e obter
\lambda = e^{-a t}.
  • Esse \lambda depende de t salvo quando e^{-a t} é constante em t. A exponencial e^{-a t} é constante em t somente se a=0.
  • Portanto:
    • Se a=0, então x_{2}(t)=e^{0}=1 (constante) e x_{2}^{2}=1, logo \lambda=1. Assim, para a=0 a função é autofunção com \lambda=1.
    • Se a\neq0, não existe \lambda escalar independente de t que satisfaça a igualdade, então x_{2} NÃO é autofunção.

Passo 5

Análise de x_{3}(t)=\cos t.
  • Calcular a imagem:
\mathcal{H}x_{3}(t)=x_{3}^{2}(t)=\cos^{2}t.
  • Queremos \lambda tal que
\cos^{2}t=\lambda\cos t\quad\text{para todo }t.
  • Sempre que \cos t\neq0 podemos dividir por \cos t e obter \lambda=\cos t, que depende de t. Para ser um autovalor \lambda deve ser constante (independente de t). A única forma de \lambda não depender de t seria se \cos t fosse constante em t, mas \cos t não é uma função constante.
  • Além disso \cos t não é identicamente zero (él oscila), então não estamos no caso da função zero.
  • Conclusão: não existe \lambda escalar que funcione para todo t; portanto x_{3}(t)=\cos t NÃO é autofunção de \mathcal{H}.

Resposta

x_{1}(t)=a: é autofunção se a\neq0, com autovalor \lambda=a. Se a=0 então x_{1} é a função zero e não é considerada autofunção.\n
x_{2}(t)=e^{-a t}: é autofunção somente se a=0; nesse caso x_{2}\equiv1 e \lambda=1. Para a\neq0 não é autofunção.\n
x_{3}(t)=\cos t: não é autofunção de \mathcal{H}.

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