3.33 For each system
and the functions
given below, determine if each of the
is an eigenfunction of
, and if it is, also state the corresponding eigenvalue.
, and
, where
is a complex constant;
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o enunciado pede e quais são as informações dadas.
- O operador linear (ou melhor: operador não linear) é
definido por
- As funções dadas são:
-
, onde é uma constante complexa; -
, com o mesmo complexo; -
.
-
- O que se pede: para cada
determinar se é uma autofunção (eigenfunction) de ; se for, indicar o autovalor correspondente.
Passo 2
O que significa ser autofunção para um operador? Explicando passo a passo, com calma:
- Dizemos que
é uma autofunção de com autovalor se, e somente se,
para todo
do domínio considerado, onde
é um número complexo (escala) que não depende de
.
- Importante: a função nula
normalmente NÃO é aceita como autofunção (porque para ela qualquer satisfaz a igualdade trivialmente). Então precisamos da função não nula. - Estratégia prática: para cada
calcular e ver se existe um escalar independente de tal que
- Se for possível isolar
e ele não depender de (e a função não for a função zero), então é autofunção e esse é o autovalor.
Passo 3
Análise de
.
- Calcular a imagem pelo operador:
- Queremos
, isto é
- Se
podemos dividir por e obter
Logo, quando
a função constante
é uma autofunção de
com autovalor
.
- Se
então . A função zero não é considerada autofunção (pela definição usual), então para não há autovalor associado (ou melhor: não se conta como autofunção).
Passo 4
Análise de
.
- Calcular a imagem:
- Procuramos
tal que
- Se
nunca é zero (o que é verdade para exponenciais), podemos dividir ambas as mãos por e obter
- Esse
depende de salvo quando é constante em . A exponencial é constante em somente se . - Portanto:
- Se
, então (constante) e , logo . Assim, para a função é autofunção com . - Se
, não existe escalar independente de que satisfaça a igualdade, então NÃO é autofunção.
- Se
Passo 5
Análise de
.
- Calcular a imagem:
- Queremos
tal que
- Sempre que
podemos dividir por e obter , que depende de . Para ser um autovalor deve ser constante (independente de ). A única forma de não depender de seria se fosse constante em , mas não é uma função constante. - Além disso
não é identicamente zero (él oscila), então não estamos no caso da função zero. - Conclusão: não existe
escalar que funcione para todo ; portanto NÃO é autofunção de .