30% dos empregados de uma empresa são mulheres e o restante homens; 3/10 das mulheres são fumantes, enquanto 11/70 dos homens são fumantes.
Calcule:
A probabilidade de um fumante ser homem.

Passo 1

Beleza, vamos entender o problema. A gente tem uma empresa onde 30% dos empregados são mulheres (e, portanto, 70% são homens). Dessas mulheres, 3/10 são fumantes; dos homens, 11/70 são fumantes. A pergunta é: dado que uma pessoa é fumante, qual a chance dela ser homem?
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes (mais a lei da probabilidade total). Vamos precisar saber como calcular e usar a decomposição da probabilidade de um evento pela lei total.

Passo 2

Primeiro, anota as probabilidades básicas:
  • P(mulher) = 0,30
  • P(homem) = 0,70
  • P(fumante ∣ mulher) = = 0,30
  • P(fumante ∣ homem) = ≈ 0,15714
Aqui a ideia é montar as “fatias” de fumantes dentro de cada grupo (homens e mulheres).

Passo 3

Agora vamos achar a probabilidade de uma pessoa ser fumante, sem olhar se é homem ou mulher. Isso é a lei da probabilidade total:
P(fumante) = P(mulher),P(fumantemidmulher) + P(homem),P(fumantemidhomem)
Substituindo:
P(fumante) = 0,30 times 0,30 ;+; 0,70 times tfrac1170 = 0,09 ;+; 0,11 = 0,20
Ou seja, 20% dos empregados são fumantes.

Passo 4

Para saber a probabilidade de ser homem dado que a pessoa fuma, usamos o Teorema de Bayes:
P(homemmidfumante) = P(homem ,cap, fumante)P(fumante) = P(homem),P(fumantemidhomem)P(fumante)
Já temos tudo:
P(homemmidfumante) = 0,70 times tfrac11700,20 = 0,110,20 = 0,55

Resposta

A probabilidade de um fumante ser homem é 0,55 (ou 55%).

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