Se
e
, encontre
.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede um único valor:
-
. -
. -
. -
.
O que se pede: encontrar
.
Passo 2
Lembrete das definições e da fórmula que vamos usar (explicando cada símbolo):
-
é a probabilidade de ocorrer sabendo que ocorreu (isso é o que queremos). -
é a probabilidade de ocorrer dado que ocorreu (nos foi dada). -
é a probabilidade de ocorrerem e ao mesmo tempo.
Pela definição de probabilidade condicional vale
Também sabemos que a probabilidade conjunta
pode ser escrita como
Portanto a fórmula de Bayes que usaremos é
Aqui falta
, que vamos calcular usando a regra da probabilidade total.
Passo 3
Regra da probabilidade total (explicando): se o evento
e seu complementar
particionam o espaço, então qualquer probabilidade de
pode ser obtida somando a contribuição de
quando
ocorre e quando
ocorre:
Substituindo os valores fornecidos (todos pegos do enunciado):
Agora calculamos passo a passo:
Somando:
Passo 4
Agora aplicamos Bayes com o numerador
:
Logo
Simplificando a fração (multiplicando numerador e denominador por
) obtemos a forma exata
Em forma decimal aproximada,
Passo 5
Intuição com um exemplo concreto (ajuda a fixar): suponha uma população de
pessoas (isso é só uma interpretação fácil).
-
têm (porque ). - Dentre esses
, têm , isto é pessoas têm . - Das
sem , têm , isto é pessoas têm . - No total,
pessoas têm . Assim a probabilidade de uma pessoa ter sabendo que tem é , exatamente o que calculamos.