Se P(B)=0.30, P(A \mid B)=0.60, P(\bar{B})=0.70 e P(A \mid \bar{B})=0.50, encontre P(B \mid A).

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede um único valor:
  • P(B)=0{,}30.
  • P(A \mid B)=0{,}60.
  • P(\bar{B})=0{,}70.
  • P(A \mid \bar{B})=0{,}50.
O que se pede: encontrar P(B \mid A).

Passo 2

Lembrete das definições e da fórmula que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • P(B \mid A) é a probabilidade de ocorrer B sabendo que A ocorreu (isso é o que queremos).
  • P(A\mid B) é a probabilidade de A ocorrer dado que B ocorreu (nos foi dada).
  • P(A\cap B) é a probabilidade de ocorrerem A e B ao mesmo tempo.
    Pela definição de probabilidade condicional vale
P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.
Também sabemos que a probabilidade conjunta P(A\cap B) pode ser escrita como
P(A\cap B)=P(A\mid B)\,P(B).
Portanto a fórmula de Bayes que usaremos é
P(B\mid A)=\frac{P(A\mid B)\,P(B)}{P(A)}.
Aqui falta P(A), que vamos calcular usando a regra da probabilidade total.

Passo 3

Regra da probabilidade total (explicando): se o evento B e seu complementar \bar{B} particionam o espaço, então qualquer probabilidade de A pode ser obtida somando a contribuição de A quando B ocorre e quando \bar{B} ocorre:
P(A)=P(A\mid B)\,P(B)+P(A\mid \bar{B})\,P(\bar{B}).
Substituindo os valores fornecidos (todos pegos do enunciado):
P(A)=0{,}60\cdot0{,}30 + 0{,}50\cdot0{,}70.
Agora calculamos passo a passo:
0{,}60\cdot0{,}30 = 0{,}18, \qquad 0{,}50\cdot0{,}70 = 0{,}35.
Somando:
P(A)=0{,}18+0{,}35=0{,}53.

Passo 4

Agora aplicamos Bayes com o numerador P(A\cap B)=P(A\mid B)\,P(B):
P(A\cap B)=0{,}60\cdot0{,}30=0{,}18.
Logo
P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{0{,}18}{0{,}53}.
Simplificando a fração (multiplicando numerador e denominador por 100) obtemos a forma exata
P(B\mid A)=\frac{18}{53}.
Em forma decimal aproximada,
P(B\mid A)\approx0{,}3396\\ (\text{ou }0{,}34\text{ arredondado}).

Passo 5

Intuição com um exemplo concreto (ajuda a fixar): suponha uma população de 100 pessoas (isso é só uma interpretação fácil).
  • 30 têm B (porque P(B)=0{,}30).
  • Dentre esses 30, 60\% têm A, isto é 0{,}60\cdot30=18 pessoas têm A\cap B.
  • Das 70 sem B, 50\% têm A, isto é 0{,}50\cdot70=35 pessoas têm A\cap\bar{B}.
  • No total, 18+35=53 pessoas têm A. Assim a probabilidade de uma pessoa ter B sabendo que tem A é 18/53, exatamente o que calculamos.

Resposta

\dfrac{18}{53} \approx 0{,}3396

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