4.30 Mostre que a diferença de potencial elétri
entre dois pontos no ar em distâncias radiais
e
a partir de uma linha infinita de cargas com densidade
ao longo do eixo
é
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma demonstração clara do resultado.
- Uma linha infinita de carga ao longo do eixo
tem densidade linear de carga . - Dois pontos estão no ar (permitividade
) a distâncias radiais e da linha de carga. - Pede-se mostrar a expressão da diferença de potencial elétrico entre esses dois pontos.
Vou tomar por definição para este problema a diferença de potencial
O objetivo é demonstrar que
Passo 2
Encontrar primeiro o campo elétrico
gerado por uma linha infinita de carga (passo fundamental). Para isso use a simetria do problema e a lei de Gauss.
- A lei de Gauss para campos elétricos diz
onde
é a carga total dentro da superfície fechada
e
é o elemento de área (vetor normal).
-
Pelo problema ter simetria cilíndrica (linha infinita), o campo elétrico só depende da distância radial
ao eixo e aponta radialmente. Então escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio e comprimento , coaxial com a linha de carga. -
A carga encerrada por essa superfície é a densidade linear vezes o comprimento:
- O fluxo total atravessando a superfície cilíndrica ocorre apenas pela superfície lateral (nas tampas o campo é paralelo às direções das tampas e o produto escalar zera). A área lateral é
. Como é paralelo ao vetor normal da superfície lateral e tem módulo constante nessa superfície, o fluxo é
- Aplicando a lei de Gauss:
Cancelando
e isolando
obtemos
- Observação física e de orientação:
aponta radialmente para fora se (vetor ). Esta expressão dá o módulo do campo elétrico em função de .
Passo 3
Explicar o conceito de diferença de potencial e como calculá-la a partir de
.
- Para um campo elétrico eletrostático (conservativo) a diferença de potencial entre dois pontos
e é dada por
Isso significa que a diferença de potencial
pode ser escrita como
ou seja, trocar os pontos muda o sinal do integral.
- No nosso caso escolhemos
como o ponto a distância e como o ponto a distância . Assim
- Justificativa da escolha do caminho: como
é conservativo, a integral é independente do caminho; escolher um caminho radial (linha ao longo de ) é o mais simples.
Passo 4
Calcular explicitamente a integral usando
encontrado no Passo 2.
-
Ao integrar radialmente,
e , portanto . -
Substituindo
na integral:
- A integral de
é o logaritmo natural. Calculando:
Passo 5
Interpretação e observações finais (dicas para a prova).
- A expressão obtida mostra que o potencial de uma linha infinita de carga cresce (ou decresce) logaritmicamente com a distância radial; por isso costuma-se evitar escolher
como referência de potencial zero (o potencial diverge logaritmicamente). - As etapas essenciais para resolver rapidamente na prova: usar simetria cilíndrica + lei de Gauss para obter
e em seguida integrar para obter a diferença de potencial. - Lembre-se de definir claramente a ordem na diferença
; trocar a ordem inverte o sinal (e o logaritmo se inverte também).