4.30 Mostre que a diferença de potencial elétri \operatorname{co} V_{12} entre dois pontos no ar em distâncias radiais r_{1} e r_{2} a partir de uma linha infinita de cargas com densidade \rho_{l} ao longo do eixo z é V_{12}=\left(\rho_{1} / 2 \pi \varepsilon_{0}\right) \ln \left(r_{2} / r_{1}\right).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma demonstração clara do resultado.
  • Uma linha infinita de carga ao longo do eixo z tem densidade linear de carga \rho_{l}.
  • Dois pontos estão no ar (permitividade \varepsilon_{0}) a distâncias radiais r_{1} e r_{2} da linha de carga.
  • Pede-se mostrar a expressão da diferença de potencial elétrico entre esses dois pontos.
Vou tomar por definição para este problema a diferença de potencial
V_{12}=V(r_{1})-V(r_{2}).
O objetivo é demonstrar que
V_{12}=\frac{\rho_{l}}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right).

Passo 2

Encontrar primeiro o campo elétrico \vec E gerado por uma linha infinita de carga (passo fundamental). Para isso use a simetria do problema e a lei de Gauss.
  • A lei de Gauss para campos elétricos diz
\oint_{\mathcal{S}}\vec E\cdot d\vec A=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície fechada \mathcal{S} e d\vec A é o elemento de área (vetor normal).
  • Pelo problema ter simetria cilíndrica (linha infinita), o campo elétrico só depende da distância radial r ao eixo e aponta radialmente. Então escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento L, coaxial com a linha de carga.
  • A carga encerrada por essa superfície é a densidade linear vezes o comprimento:
Q_{\text{int}}=\rho_{l}\,L.
  • O fluxo total atravessando a superfície cilíndrica ocorre apenas pela superfície lateral (nas tampas o campo é paralelo às direções das tampas e o produto escalar zera). A área lateral é 2\pi r L. Como \vec E é paralelo ao vetor normal da superfície lateral e tem módulo constante nessa superfície, o fluxo é
\oint_{\mathcal{S}}\vec E\cdot d\vec A = E(r)\cdot(2\pi r L).
  • Aplicando a lei de Gauss:
E(r)\,2\pi r L=\frac{\rho_{l}L}{\varepsilon_{0}}.
Cancelando L e isolando E(r) obtemos
E(r)=\frac{\rho_{l}}{2\pi\varepsilon_{0}\,r}.
  • Observação física e de orientação: \vec E aponta radialmente para fora se \rho_{l}>0 (vetor \vec E=E(r)\,\hat r). Esta expressão dá o módulo do campo elétrico em função de r.

Passo 3

Explicar o conceito de diferença de potencial e como calculá-la a partir de \vec E.
  • Para um campo elétrico eletrostático (conservativo) a diferença de potencial entre dois pontos A e B é dada por
V(B)-V(A)=-\int_{A}^{B}\vec E\cdot d\vec r.
Isso significa que a diferença de potencial V(A)-V(B) pode ser escrita como
V(A)-V(B)=\int_{A}^{B}\vec E\cdot d\vec r,
ou seja, trocar os pontos muda o sinal do integral.
  • No nosso caso escolhemos A como o ponto a distância r_{1} e B como o ponto a distância r_{2}. Assim
V_{12}=V(r_{1})-V(r_{2})=\int_{r_{1}}^{r_{2}}\vec E\cdot d\vec r.
  • Justificativa da escolha do caminho: como \vec E é conservativo, a integral é independente do caminho; escolher um caminho radial (linha ao longo de \hat r) é o mais simples.

Passo 4

Calcular explicitamente a integral usando \vec E encontrado no Passo 2.
  • Ao integrar radialmente, d\vec r = dr\,\hat r e \vec E = E(r)\,\hat r, portanto \vec E\cdot d\vec r = E(r)\,dr.
  • Substituindo E(r)=\dfrac{\rho_{l}}{2\pi\varepsilon_{0}r} na integral:
V_{12}=\int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{\rho_{l}}{2\pi\varepsilon_{0}\,r}\,dr.
  • A integral de 1/r é o logaritmo natural. Calculando:
V_{12}=\frac{\rho_{l}}{2\pi\varepsilon_{0}}\left[\ln r\right]_{r_{1}}^{r_{2}} =\frac{\rho_{l}}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right).

Passo 5

Interpretação e observações finais (dicas para a prova).
  • A expressão obtida mostra que o potencial de uma linha infinita de carga cresce (ou decresce) logaritmicamente com a distância radial; por isso costuma-se evitar escolher r\to\infty como referência de potencial zero (o potencial diverge logaritmicamente).
  • As etapas essenciais para resolver rapidamente na prova: usar simetria cilíndrica + lei de Gauss para obter E(r) e em seguida integrar \vec E para obter a diferença de potencial.
  • Lembre-se de definir claramente a ordem na diferença V(r_{1})-V(r_{2}); trocar a ordem inverte o sinal (e o logaritmo se inverte também).

Resposta

V_{12}=\frac{\rho_{l}}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)

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