4.29* Um anel circular de carga de raio a está situado no plano x-y com centro na origem. Considere também que o anel esteja no ar e tenha uma densidade de carga uniforme \rho_{r}.
(a) Mostre que o potencial elétrico em ( 0,0, z ) é dado por V=\rho_{l} a /\left[2 \varepsilon_{0}\left(a^{2}+z^{2}\right)^{1 / 2}\right].
(b) Determine o campo elétrico E correspondente.

Passo 1

O enunciado dá um anel circular de raio \,a, no plano x\!-\!y com centro na origem e densidade de carga uniforme ao longo do anel (o enunciado escreveu \rho_{r}; vou denotar essa densidade linear por \rho_{l} para ficar claro que é carga por unidade de comprimento). O ponto onde queremos o potencial e o campo é (0,0,z), ou seja, no eixo z a uma distância z do centro do anel.
As perguntas são:
(a) mostrar que o potencial em (0,0,z) é \displaystyle V=\dfrac{\rho_{l}\,a}{2\varepsilon_{0}\sqrt{a^{2}+z^{2}}};
(b) determinar o campo elétrico \mathbf{E} correspondente nesse ponto.

Passo 2

Princípio e fórmula básica (explicando como usar na prova).
  • Para uma carga pontual q a uma distância r o potencial eletrostático (referido a zero no infinito) é
V=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q}{r}.
  • Para uma distribuição contínua de carga usamos superposição: dividimos a distribuição em pequenos pedaços de carga dq, somamos (integral) as contribuições dV=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{dq}{r}.
  • No caso do anel, a carga de cada elemento dq está a uma mesma distância do ponto (0,0,z), o que simplifica muito a integral.
Agora aplicar isso passo a passo:
  • Defina a densidade linear \rho_{l} (carga por unidade de comprimento). Um elemento de comprimento do anel é dl=a\,d\varphi, onde \varphi é o ângulo polar no plano do anel. Então
dq=\rho_{l}\,dl=\rho_{l}\,a\,d\varphi.
  • A posição de um elemento do anel pode ser tomada como (a\cos\varphi,a\sin\varphi,0). A distância do elemento ao ponto (0,0,z) é
r=\sqrt{(a\cos\varphi-0)^{2}+(a\sin\varphi-0)^{2}+(0-z)^{2}}=\sqrt{a^{2}+z^{2}}.
Observe que r é independente de \varphi — por isso a integral será imediata.

Passo 3

Calcular o potencial integrando as contribuições dV.
  • A contribuição de um elemento dq é
dV=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{dq}{r}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{\rho_{l}\,a\,d\varphi}{\sqrt{a^{2}+z^{2}}}.
  • Integramos \varphi de 0 a 2\pi para cobrir todo o anel:
V=\int_{0}^{2\pi} dV=\dfrac{\rho_{l}\,a}{4\pi\varepsilon_{0}\sqrt{a^{2}+z^{2}}}\int_{0}^{2\pi} d\varphi.
  • A integral de d\varphi 2\pi, então
V=\dfrac{\rho_{l}\,a}{4\pi\varepsilon_{0}\sqrt{a^{2}+z^{2}}}\cdot 2\pi=\dfrac{\rho_{l}\,a}{2\varepsilon_{0}\sqrt{a^{2}+z^{2}}}.
Isto é exatamente a expressão pedida. (Observação prática para prova: também pode escrever Q=\rho_{l}(2\pi a) e obter V=(1/4\pi\varepsilon_{0})\,Q/\sqrt{a^{2}+z^{2}}, que se reduz à mesma forma.)

Passo 4

Determinar o campo elétrico \mathbf{E} a partir do potencial (explicando o procedimento).
  • Relação entre campo e potencial: \mathbf{E}=-\nabla V. Como V depende apenas de z (simetria do problema), o gradiente só tem componente z. Assim
\mathbf{E} = -\dfrac{dV}{dz}\,\hat{z}.
  • Calcule dV/dz. Temos
V(z)=\dfrac{\rho_{l}\,a}{2\varepsilon_{0}}(a^{2}+z^{2})^{-1/2}.
Derivando:
\dfrac{dV}{dz}=\dfrac{\rho_{l}\,a}{2\varepsilon_{0}}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)(a^{2}+z^{2})^{-3/2}\cdot 2z = -\dfrac{\rho_{l}\,a\,z}{2\varepsilon_{0}(a^{2}+z^{2})^{3/2}}.
  • Portanto
\mathbf{E} = -\dfrac{dV}{dz}\,\hat{z} = \dfrac{\rho_{l}\,a\,z}{2\varepsilon_{0}(a^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\hat{z}.
Isto mostra que o campo está alinhado ao eixo z (como esperado por simetria); para z>0 aponta no sentido +\hat{z} se \rho_{l}>0, e para z<0 o sinal de z garante que o campo aponte no sentido correto (afastando-se do anel quando a carga é positiva).

Passo 5

Verificações úteis para ganhar confiança (coisas que costumam cair na prova):
  • No centro do anel ( z=0) temos V(0)=\dfrac{\rho_{l}}{2\varepsilon_{0}} e \mathbf{E}(0)=\mathbf{0} (campo nulo por simetria).
  • Para z\gg a o potencial tende a \displaystyle V\approx\dfrac{\rho_{l}a}{2\varepsilon_{0}z}=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}z}, que é o potencial de uma carga total Q=\rho_{l}2\pi a vista de longe (limite de monopolo), como esperado.

Resposta

(a) \displaystyle V=\dfrac{\rho_{l}\,a}{2\varepsilon_{0}\sqrt{a^{2}+z^{2}}}
(b) \displaystyle \mathbf{E}=\dfrac{\rho_{l}\,a\,z}{2\varepsilon_{0}(a^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\hat{z}

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