4.29* Um anel circular de carga de raio
está situado no plano
com centro na origem. Considere também que o anel esteja no ar e tenha uma densidade de carga uniforme
.
(a) Mostre que o potencial elétrico em (
) é dado por
.
(b) Determine o campo elétrico E correspondente.
(a) Mostre que o potencial elétrico em (
(b) Determine o campo elétrico E correspondente.
Passo 1
O enunciado dá um anel circular de raio
, no plano
com centro na origem e densidade de carga uniforme ao longo do anel (o enunciado escreveu
; vou denotar essa densidade linear por
para ficar claro que é carga por unidade de comprimento). O ponto onde queremos o potencial e o campo é
, ou seja, no eixo
a uma distância
do centro do anel.
As perguntas são:
(a) mostrar que o potencial em é
;
(b) determinar o campo elétrico correspondente nesse ponto.
As perguntas são:
(a) mostrar que o potencial em
(b) determinar o campo elétrico
Passo 2
Princípio e fórmula básica (explicando como usar na prova).
- Para uma carga pontual
a uma distância o potencial eletrostático (referido a zero no infinito) é
- Para uma distribuição contínua de carga usamos superposição: dividimos a distribuição em pequenos pedaços de carga
, somamos (integral) as contribuições . - No caso do anel, a carga de cada elemento
está a uma mesma distância do ponto , o que simplifica muito a integral.
Agora aplicar isso passo a passo:
- Defina a densidade linear
(carga por unidade de comprimento). Um elemento de comprimento do anel é , onde é o ângulo polar no plano do anel. Então
- A posição de um elemento do anel pode ser tomada como
. A distância do elemento ao ponto é
Observe que
é independente de
— por isso a integral será imediata.
Passo 3
Calcular o potencial integrando as contribuições
.
- A contribuição de um elemento
é
- Integramos
de a para cobrir todo o anel:
- A integral de
dá , então
Isto é exatamente a expressão pedida. (Observação prática para prova: também pode escrever
e obter
, que se reduz à mesma forma.)
Passo 4
Determinar o campo elétrico
a partir do potencial (explicando o procedimento).
- Relação entre campo e potencial:
. Como depende apenas de (simetria do problema), o gradiente só tem componente . Assim
- Calcule
. Temos
Derivando:
- Portanto
Isto mostra que o campo está alinhado ao eixo
(como esperado por simetria); para
aponta no sentido
se
, e para
o sinal de
garante que o campo aponte no sentido correto (afastando-se do anel quando a carga é positiva).
Passo 5
Verificações úteis para ganhar confiança (coisas que costumam cair na prova):
- No centro do anel (
) temos e (campo nulo por simetria). - Para
o potencial tende a , que é o potencial de uma carga total vista de longe (limite de monopolo), como esperado.
Resposta
(a)
(b)
(b)