4.27 Um quadrado no plano x-y no espaço livre tem uma carga pontual +Q no vértice ( a / 2, a / 2 ), uma segunda carga igual no vértice ( a / 2,-a / 2 ) e uma carga pontual -Q em cada um dos outros dois vértices.
(a) Determine o potencial elétrico em qualquer ponto P ao longo do eixo x.
(b) Calcule V para x=a / 2.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder.
  • Dados fornecidos:
    • Há um quadrado no plano x\!-\!y (plano z=0) com lado a. Os quatro vértices são, implicitamente, \left(\pm\frac{a}{2},\pm\frac{a}{2}\right).
    • Há cargas pontuais nos vértices:
      • carga +Q em \left(\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right),
      • carga +Q em \left(\frac{a}{2},-\frac{a}{2}\right),
      • carga -Q em \left(-\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right),
      • carga -Q em \left(-\frac{a}{2},-\frac{a}{2}\right).
  • O ponto P onde queremos o potencial está ao longo do eixo x, isto é, na posição \left(x,0,0\right).
  • O enunciado pede:
    (a) Determinar o potencial elétrico V em um ponto qualquer P sobre o eixo x (ou seja, obter V(x)).
    (b) Calcular o valor de V quando x=\dfrac{a}{2}.

Passo 2

Relembrando a fórmula e o princípio que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Potencial devido a uma carga puntiforme q no ponto \mathbf{r}' é
V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{\lVert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rVert},
onde \epsilon_0 é a permissividade do vácuo e \lVert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rVert é a distância entre o ponto de medição \mathbf{r} e a carga \mathbf{r}'.
  • Princípio da superposição: o potencial total é a soma algébrica dos potenciais de cada carga, porque o potencial é uma grandeza escalar. Então somamos as contribuições de cada vértice.
Explicando de modo simples: cada carga traz um termo \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q}{\text{distância}}â, e somamos levando em conta sinais ( +Q positivo, -Q negativo).

Passo 3

Definir as distâncias do ponto P=(x,0,0) até cada vértice — aqui fazemos as contas passo a passo e usamos simetria.
  • Distância de P até \left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2}\right):
r_1=\sqrt{\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+\left(0-\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}.
  • Distância de P até \left(\dfrac{a}{2},-\dfrac{a}{2}\right): como só muda o sinal da coordenada y e P tem y=0, essa distância é igual a r_1 também:
\text{distância para }\left(\frac{a}{2},-\frac{a}{2}\right)=r_1.â
  • Distância de P até \left(-\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2}\right):
r_2=\sqrt{\left(x+\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}.
  • Distância de P até \left(-\dfrac{a}{2},-\dfrac{a}{2}\right) é também r_2.
Observação prática: por simetria as duas cargas +Q têm a mesma distância r_1 e as duas cargas -Q têm a mesma distância r_2. Isso facilita bastante a soma.

Passo 4

Escrever o potencial total usando superposição e as distâncias calculadas.
  • Potencial devido às duas cargas +Q (cada uma contribui com 1/(4\pi\epsilon_0)\,Q/r_1), então soma das duas positivas é
V_{+}= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r_1}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r_1} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2Q}{r_1}.
  • Potencial devido às duas cargas -Q é
V_{-}= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(-\frac{Q}{r_2}-\frac{Q}{r_2}\right) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(-\frac{2Q}{r_2}\right).
  • Somando,
V(x)=V_{+}+V_{-}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{2Q}{r_1}-\frac{2Q}{r_2}\right).
Fatorando 2Q/(4\pi\epsilon_0)=Q/(2\pi\epsilon_0), obtemos a forma mais compacta:
\boxed{\,V(x)=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{\sqrt{\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}}-\frac{1}{\sqrt{\left(x+\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}}\right)\,}
Explicação curta sobre o que esse resultado diz: se x for positivo e grande, a primeira fração (distância até as cargas positivas do lado direito) tende a ser menor que a segunda (distância até as cargas negativas do lado esquerdo), então o sinal do potencial dependerá da diferença das inversas; o fator Q/(2\pi\epsilon_0) dá a escala.

Passo 5

Damos uma versão alternativa útil (opcional, para ver estrutura): fatorando \dfrac{a}{2} das raízes, às vezes fica mais claro para análise assintótica. Mas não é obrigatório para a prova; só mostro como fica:
  • Note que
\sqrt{\left(x\mp\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\frac{a}{2}\sqrt{\left(\frac{2x}{a}\mp1\right)^2+1},
então
V(x)=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0}\cdot\frac{2}{a}\left(\frac{1}{\sqrt{\left(\dfrac{2x}{a}-1\right)^2+1}}-\frac{1}{\sqrt{\left(\dfrac{2x}{a}+1\right)^2+1}}\right).
Isto mostra que V tem dimensão Q/(\epsilon_0 a) e é função adimensional de 2x/a.

Passo 6

Agora parte (b): calcular V para x=\dfrac{a}{2}. Substituímos x=\dfrac{a}{2} nas expressões de r_1 e r_2 e fazemos conta passo a passo.
  • Calcular r_1 em x=\dfrac{a}{2}:
r_1=\sqrt{\left(\frac{a}{2}-\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{0+\frac{a^2}{4}}=\frac{a}{2}.
  • Calcular r_2 em x=\dfrac{a}{2}:
r_2=\sqrt{\left(\frac{a}{2}+\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{5a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.

Passo 7

Substituir r_1 e r_2 na expressão do potencial e simplificar cuidadosamente (conta feita de modo que dê para replicar na prova sem calculadora).
  • Começando de
V\!\left(\frac{a}{2}\right)=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right) =\frac{Q}{2\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{\tfrac{a}{2}}-\frac{1}{\tfrac{a\sqrt{5}}{2}}\right).
  • Simplificando as frações \dfrac{1}{a/2}=2/a e \dfrac{1}{a\sqrt{5}/2}=2/(a\sqrt{5}), obtemos
V\!\left(\frac{a}{2}\right)=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0}\left(\frac{2}{a}-\frac{2}{a\sqrt{5}}\right).
  • Fatorando 2/a:
V\!\left(\frac{a}{2}\right)=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0}\cdot\frac{2}{a}\left(1-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) =\frac{Q}{\pi\epsilon_0 a}\left(1-\frac{1}{\sqrt{5}}\right).

Resposta

(a) V(x)=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{\sqrt{\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}}-\frac{1}{\sqrt{\left(x+\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}}\right)
(b) V\!\left(\frac{a}{2}\right)=\frac{Q}{\pi\epsilon_0 a}\left(1-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)

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