4.27 Um quadrado no plano x-y no espaço livre tem uma carga pontual +Q no vértice ( a / 2, a / 2 ), uma segunda carga igual no vértice ( a / 2,-a / 2 ) e uma carga pontual -Q em cada um dos outros dois vértices.
(a) Determine o potencial elétrico em qualquer ponto P ao longo do eixo x.
(b) Calcule V para x=a / 2.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder.
Dados fornecidos:
Há um quadrado no plano x\!-\!y (plano z=0) com lado a. Os quatro vértices são, implicitamente, \left(\pm\frac{a}{2},\pm\frac{a}{2}\right).
Há cargas pontuais nos vértices:
carga +Q em \left(\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right),
carga +Q em \left(\frac{a}{2},-\frac{a}{2}\right),
carga -Q em \left(-\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right),
carga -Q em \left(-\frac{a}{2},-\frac{a}{2}\right).
O ponto P onde queremos o potencial está ao longo do eixo x, isto é, na posição \left(x,0,0\right).
O enunciado pede:
(a) Determinar o potencial elétrico V em um ponto qualquer P sobre o eixo x (ou seja, obter V(x)).
(b) Calcular o valor de V quando x=\dfrac{a}{2}.
Passo 2
Relembrando a fórmula e o princípio que vamos usar (aula rápida e prática).
Potencial devido a uma carga puntiforme q no ponto \mathbf{r}' é
onde \epsilon_0 é a permissividade do vácuo e \lVert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rVert é a distância entre o ponto de medição \mathbf{r} e a carga \mathbf{r}'.
Princípio da superposição: o potencial total é a soma algébrica dos potenciais de cada carga, porque o potencial é uma grandeza escalar. Então somamos as contribuições de cada vértice.
Explicando de modo simples: cada carga traz um termo \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q}{\text{distância}}, e somamos levando em conta sinais (+Q positivo, -Q negativo).
Passo 3
Definir as distâncias do ponto P=(x,0,0) até cada vértice — aqui fazemos as contas passo a passo e usamos simetria.
Distância de P até \left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2}\right):
Distância de P até \left(-\dfrac{a}{2},-\dfrac{a}{2}\right) é também r_2.
Observação prática: por simetria as duas cargas +Q têm a mesma distância r_1 e as duas cargas -Q têm a mesma distância r_2. Isso facilita bastante a soma.
Passo 4
Escrever o potencial total usando superposição e as distâncias calculadas.
Potencial devido às duas cargas +Q (cada uma contribui com 1/(4\pi\epsilon_0)\,Q/r_1), então soma das duas positivas é
Explicação curta sobre o que esse resultado diz: se x for positivo e grande, a primeira fração (distância até as cargas positivas do lado direito) tende a ser menor que a segunda (distância até as cargas negativas do lado esquerdo), então o sinal do potencial dependerá da diferença das inversas; o fator Q/(2\pi\epsilon_0) dá a escala.
Passo 5
Damos uma versão alternativa útil (opcional, para ver estrutura): fatorando \dfrac{a}{2} das raízes, às vezes fica mais claro para análise assintótica. Mas não é obrigatório para a prova; só mostro como fica: