4.31* Determine o potencial elétrico
em um local a uma distância
da origem no plano
devido a uma linha de carga com densidade de carga
e comprimento
. A linha de carga coincide com o eixo
e se estende de
a
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o potencial elétrico
num ponto do plano
que está a uma distância
da origem, devido a uma linha de carga de densidade linear
que coincide com o eixo
e vai de
até
.
Informações dadas:
- A linha de carga tem densidade linear
(carga por unidade de comprimento). - A linha está sobre o eixo
e se estende entre e . - O ponto onde queremos
está no plano (plano ) a uma distância radial da origem. - Constante elétrica do vácuo:
.
O que é pedido:
- Calcular
em função de , , e .
Passo 2
Conceito e fórmula básica que vamos usar (explicando bem): o potencial elétrico produzido por uma pequena carga pontual
num ponto a uma distância
é dado por
Aqui
é a contribuição infinitesimal de potencial causada por
. Para uma distribuição contínua de carga somamos (integrando) essas contribuições ao longo da distribuição.
No nosso caso
é um elemento da linha de carga e relaciona-se com
por
onde
é a coordenada ao longo do eixo
. A distância entre o elemento coordenado por
e o ponto no plano
a distância
da origem é
Portanto a contribuição elementar de potencial é
Passo 3
Agora escrevemos o potencial total integrando
ao longo de toda a linha de carga, de
até
:
Explico a integral: integrande
é uma integral padrão que aparece em problemas com simetria cilíndrica. A primitiva conhecida é
(Motivo: derivando
obtém-se
; essa verificação pode ser feita por diferenciação direta se quiser conferir.)
Passo 4
Aplicando a primitiva nos limites:
Definindo
e
, obtemos
Passo 5
Simplificamos a expressão para uma forma mais usual e compacta. Note que
Logo
Substituindo de volta em
vem
Comento rápido: essa é a forma final prática. É útil saber que, no limite
, o log diverge e recupera a forma de potencial divergente da linha infinita (o potencial absoluto depende de uma constante de referência).
Passo 6
Recapitulo em palavras curtas (ânimo!): integramos as contribuições elementares
ao longo da linha, usando a distância geométrica
e a primitiva logarítmica da integral. Isso dá uma expressão em termos do logaritmo natural contendo
e
.