4.31* Determine o potencial elétrico V em um local a uma distância b da origem no plano x-y devido a uma linha de carga com densidade de carga \rho_{l} e comprimento l. A linha de carga coincide com o eixo z e se estende de z=-l / 2 a z=I / 2.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o potencial elétrico V num ponto do plano x\!-\!y que está a uma distância b da origem, devido a uma linha de carga de densidade linear \rho_{l} que coincide com o eixo z e vai de z=-\dfrac{l}{2} até z=+\dfrac{l}{2}.
Informações dadas:
  • A linha de carga tem densidade linear \rho_{l} (carga por unidade de comprimento).
  • A linha está sobre o eixo z e se estende entre z=-\dfrac{l}{2} e z=+\dfrac{l}{2}.
  • O ponto onde queremos V está no plano z=0 (plano x\!-\!y) a uma distância radial b da origem.
  • Constante elétrica do vácuo: \varepsilon_0.
O que é pedido:
  • Calcular V em função de \rho_{l}, l, b e \varepsilon_0.

Passo 2

Conceito e fórmula básica que vamos usar (explicando bem): o potencial elétrico produzido por uma pequena carga pontual dq num ponto a uma distância r é dado por
dV=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{dq}{r}.
Aqui dV é a contribuição infinitesimal de potencial causada por dq. Para uma distribuição contínua de carga somamos (integrando) essas contribuições ao longo da distribuição.
No nosso caso dq é um elemento da linha de carga e relaciona-se com \rho_{l} por
dq=\rho_{l}\,dz,
onde z é a coordenada ao longo do eixo z. A distância entre o elemento coordenado por z e o ponto no plano z=0 a distância b da origem é
r=\sqrt{b^{2}+z^{2}}.
Portanto a contribuição elementar de potencial é
dV=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\rho_{l}\,dz}{\sqrt{b^{2}+z^{2}}}.

Passo 3

Agora escrevemos o potencial total integrando dV ao longo de toda a linha de carga, de z=-\dfrac{l}{2} até z=+\dfrac{l}{2}:
V(b)=\int_{-l/2}^{+l/2} dV =\frac{\rho_{l}}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-l/2}^{+l/2}\frac{dz}{\sqrt{b^{2}+z^{2}}}.
Explico a integral: integrande \dfrac{1}{\sqrt{b^{2}+z^{2}}} é uma integral padrão que aparece em problemas com simetria cilíndrica. A primitiva conhecida é
\int\frac{dz}{\sqrt{b^{2}+z^{2}}}=\ln\!\bigl(z+\sqrt{b^{2}+z^{2}}\bigr)+C.
(Motivo: derivando \ln(z+\sqrt{b^{2}+z^{2}}) obtém-se \dfrac{1}{\sqrt{b^{2}+z^{2}}}; essa verificação pode ser feita por diferenciação direta se quiser conferir.)

Passo 4

Aplicando a primitiva nos limites:
V(b)=\frac{\rho_{l}}{4\pi\varepsilon_0}\Biggl[\ln\!\bigl(z+\sqrt{b^{2}+z^{2}}\bigr)\Biggr]_{z=-l/2}^{z=+l/2}.
Definindo A=\dfrac{l}{2} e R=\sqrt{b^{2}+A^{2}}=\sqrt{b^{2}+\bigl(\dfrac{l}{2}\bigr)^{2}}, obtemos
V(b)=\frac{\rho_{l}}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\ln(R+A)-\ln(R-A)\Bigr) =\frac{\rho_{l}}{4\pi\varepsilon_0}\ln\!\biggl(\frac{R+A}{R-A}\biggr).

Passo 5

Simplificamos a expressão para uma forma mais usual e compacta. Note que
R^{2}-A^{2}=b^{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{R+A}{R-A}=\frac{(R+A)^{2}}{R^{2}-A^{2}}=\frac{(R+A)^{2}}{b^{2}}.
Logo
\ln\!\biggl(\frac{R+A}{R-A}\biggr)=2\ln\!\biggl(\frac{R+A}{b}\biggr).
Substituindo de volta em V(b) vem
V(b)=\frac{\rho_{l}}{4\pi\varepsilon_0}\;2\ln\!\biggl(\frac{R+A}{b}\biggr) =\frac{\rho_{l}}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\biggl(\frac{\sqrt{b^{2}+\bigl(\tfrac{l}{2}\bigr)^{2}}+\tfrac{l}{2}}{\,b}\biggr).
Comento rápido: essa é a forma final prática. É útil saber que, no limite l\to\infty, o log diverge e recupera a forma de potencial divergente da linha infinita (o potencial absoluto depende de uma constante de referência).

Passo 6

Recapitulo em palavras curtas (ânimo!): integramos as contribuições elementares dV ao longo da linha, usando a distância geométrica \sqrt{b^{2}+z^{2}} e a primitiva logarítmica da integral. Isso dá uma expressão em termos do logaritmo natural contendo \sqrt{b^{2}+(l/2)^{2}} e l/2.

Resposta

V(b)=\frac{\rho_{l}}{2\pi\varepsilon_0}\,\ln\!\left(\frac{\sqrt{b^{2}+\left(\dfrac{l}{2}\right)^{2}}+\dfrac{l}{2}}{b}\right)

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