2-30 It is observed that the density of an ideal gas decreases by 10 percent when compressed isothermally from 10 atm to 11 atm . Determine the percent decrease in density of the gas if it is compressed isothermally from 100 atm to 101 atm .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
- Informação 1: É observado que a densidade de um gás ideal muda em 10% quando o gás é comprimido isotermicamente de
atm para atm. - Informação 2: Queremos determinar a porcentagem de variação (o enunciado diz “decrease”, mas vamos interpretar como a variação percentual de densidade) quando o gás é comprimido isotermicamente de
atm para atm.
O que se pede: calcular a variação percentual da densidade ao passar de
atm para
atm, usando a informação dada.
Passo 2
Vamos recordar a lei dos gases ideais e relacioná-la com densidade. A lei dos gases ideais é
onde:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é o número de mols, -
é a constante universal dos gases, -
é a temperatura absoluta.
Seja
a massa do gás e
a massa molar (massa por mol). Então
. Substituindo em
obtemos
A densidade
é
. Isolando
na equação acima temos
Dessa forma
Explicação do que isso significa: para um mesmo gás (
fixo) e temperatura constante (
fixo), o fator
é constante. Logo, a densidade
é diretamente proporcional à pressão
. Em palavras simples: se a pressão aumenta em certa fração, a densidade aumenta na mesma fração; se a pressão diminui em certa fração, a densidade diminui na mesma fração.
Passo 3
Da relação de proporcionalidade direta obtemos a relação entre variações relativas (frações ou percentuais). Se a pressão muda de
para
, a densidade muda de
para
com
A variação percentual da densidade é então
Isto é só a aplicação direta da proporcionalidade
.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao caso dado como verificação rápida: de
atm para
atm temos
ou seja
. Isso confirma que uma mudança de
para
atm corresponde a uma mudança percentual de
na densidade (em magnitude), o que coincide com o dado do enunciado (aqui estamos trabalhando com o valor absoluto da variação percentual).
Passo 5
Agora aplicamos ao caso pedido: compressão isotérmica de
atm para
atm. Usando a fórmula:
Convertendo para percentual:
Passo 6
Interpretação final e comentário prático: como a densidade é proporcional à pressão em um processo isotérmico para um mesmo gás, um aumento absoluto de
atm representa uma variação percentual maior quando a pressão inicial é pequena (por exemplo
atm sobre
atm é
) e uma variação percentual menor quando a pressão inicial é grande (por exemplo
atm sobre
atm é
). Então a variação percentual pedida é pequena:
.