2-30 It is observed that the density of an ideal gas decreases by 10 percent when compressed isothermally from 10 atm to 11 atm . Determine the percent decrease in density of the gas if it is compressed isothermally from 100 atm to 101 atm .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Informação 1: É observado que a densidade de um gás ideal muda em 10% quando o gás é comprimido isotermicamente de 10 atm para 11 atm.
  • Informação 2: Queremos determinar a porcentagem de variação (o enunciado diz “decrease”, mas vamos interpretar como a variação percentual de densidade) quando o gás é comprimido isotermicamente de 100 atm para 101 atm.
O que se pede: calcular a variação percentual da densidade ao passar de 100 atm para 101 atm, usando a informação dada.

Passo 2

Vamos recordar a lei dos gases ideais e relacioná-la com densidade. A lei dos gases ideais é
PV = nRT
onde:
  • P é a pressão,
  • V é o volume,
  • n é o número de mols,
  • R é a constante universal dos gases,
  • T é a temperatura absoluta.
Seja m a massa do gás e M a massa molar (massa por mol). Então n = m/M. Substituindo em PV=nRT obtemos
PV = \frac{m}{M}RT.
A densidade \rho é \rho = \dfrac{m}{V}. Isolando m/V na equação acima temos
P = \frac{m}{V}\cdot\frac{RT}{M} = \rho \cdot \frac{RT}{M}.
Dessa forma
\rho = \frac{M}{RT}\,P.
Explicação do que isso significa: para um mesmo gás ( M fixo) e temperatura constante ( T fixo), o fator \dfrac{M}{RT} é constante. Logo, a densidade \rho é diretamente proporcional à pressão P. Em palavras simples: se a pressão aumenta em certa fração, a densidade aumenta na mesma fração; se a pressão diminui em certa fração, a densidade diminui na mesma fração.

Passo 3

Da relação de proporcionalidade direta obtemos a relação entre variações relativas (frações ou percentuais). Se a pressão muda de P_1 para P_2, a densidade muda de \rho_1 para \rho_2 com
\frac{\rho_2-\rho_1}{\rho_1}=\frac{P_2-P_1}{P_1}.
A variação percentual da densidade é então
\text{variação percentual} = \frac{P_2-P_1}{P_1}\times 100\%.çã
Isto é só a aplicação direta da proporcionalidade \rho\propto P.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso dado como verificação rápida: de P_1=10 atm para P_2=11 atm temos
\frac{P_2-P_1}{P_1}=\frac{11-10}{10}=\frac{1}{10}=0{,}1,
ou seja 0{,}1\times100\%=10\%. Isso confirma que uma mudança de 10 para 11 atm corresponde a uma mudança percentual de 10\% na densidade (em magnitude), o que coincide com o dado do enunciado (aqui estamos trabalhando com o valor absoluto da variação percentual).

Passo 5

Agora aplicamos ao caso pedido: compressão isotérmica de P_1=100 atm para P_2=101 atm. Usando a fórmula:
\frac{P_2-P_1}{P_1}=\frac{101-100}{100}=\frac{1}{100}=0{,}01.
Convertendo para percentual:
0{,}01\times100\%=1\%.

Passo 6

Interpretação final e comentário prático: como a densidade é proporcional à pressão em um processo isotérmico para um mesmo gás, um aumento absoluto de 1 atm representa uma variação percentual maior quando a pressão inicial é pequena (por exemplo 1 atm sobre 10 atm é 10\%) e uma variação percentual menor quando a pressão inicial é grande (por exemplo 1 atm sobre 100 atm é 1\%). Então a variação percentual pedida é pequena: 1\%.

Resposta

1\%

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