(30 pontos)
(a) (10 pontos) Seja . Mostre, sem derivar , que existe um número tal que .
(b) (20 pontos) Considere a curva dada pela equação: . Calcule e encontre a equação da reta tangente à curva no ponto
Passo 1
Resumindo, na parte (a) temos a função
e queremos mostrar, sem derivar explicitamente, que existe tal que . Na parte (b) a curva é dada por
e precisamos obter por diferenciação implícita e, em seguida, a reta tangente no ponto .
Passo 2
Para (a) observamos que é um polinômio, logo contínuo em e diferenciável em . Calculamos os valores nos extremos:
Como , podemos aplicar o Teorema de Rolle, que garante a existência de algum tal que
Passo 3
Agora (b): partimos de
Diferenciando ambos os lados em relação a , usando regra do produto e cadeia, obtemos
Cada termo dá:
Passo 4
Somando e agrupando os termos com e sem ele, chega-se a
Isolando , resulta
Passo 5
Para a reta tangente em precisamos de . Substituindo x=1, y=1: