(30 pontos)
(a) (10 pontos) Seja f(x)=x^2-x. Mostre, sem derivar f, que existe um número c in[0,1] tal que f^prime(c)=0.
(b) (20 pontos) Considere a curva dada pela equação: y^2 x+x^2 y+x y^3=3. Calcule d yd x e encontre a equação da reta tangente à curva no ponto (1,1)

Passo 1

Resumindo, na parte (a) temos a função
f(x)=x^2 - x
e queremos mostrar, sem derivar explicitamente, que existe cin[0,1] tal que f'(c)=0. Na parte (b) a curva é dada por
y^2x + x^2y + xy^3 = 3
e precisamos obter tfracdydx por diferenciação implícita e, em seguida, a reta tangente no ponto (1,1).

Passo 2

Para (a) observamos que f é um polinômio, logo contínuo em [0,1] e diferenciável em (0,1). Calculamos os valores nos extremos:
f(0)=0^2-0=0, f(1)=1^2-1=0
Como f(0)=f(1), podemos aplicar o Teorema de Rolle, que garante a existência de algum cin(0,1)subset[0,1] tal que
f'(c)=0

Passo 3

Agora (b): partimos de
y^2x + x^2y + xy^3 = 3
Diferenciando ambos os lados em relação a x, usando regra do produto e cadeia, obtemos
ddx(y^2x) +ddx(x^2y) +ddx(xy^3) =0
Cada termo dá:
ddx(y^2x) = y^2 + xcdot 2y,dydx,
ddx(x^2y) = 2x,y + x^2,dydx,
ddx(xy^3) = y^3 + xcdot 3y^2,dydx

Passo 4

Somando e agrupando os termos com dydx e sem ele, chega-se a
l(y^2 + 2xy+y^3r) +l(2xy + x^2 + 3xy^2r)dydx =0
Isolando tfracdydx, resulta
dydx = -y^2 + 2xy + y^32xy + x^2 + 3xy^2

Passo 5

Para a reta tangente em (1,1) precisamos de tfracdydx|(1,1). Substituindo x=1, y=1:
numerador = 1^2 + 2cdot1cdot1 + 1^3 = 4, denominador = 2cdot1cdot1 + 1^2 + 3cdot1cdot1^2 = 6,
logo
dydx|(1,1) = -46 = -23
A equação da reta tangente em ponto (x0,y0)=(1,1) é
y - y0 = m,(x - x0),
portanto
y - 1 = -tfrac23,(x - 1)

Resposta

(a) Como f(0)=f(1)=0 e f é contínua em [0,1], diferenciável em (0,1), o Teorema de Rolle dá cin(0,1) tal que f'(c)=0.
(b)
dydx = -y^2 + 2xy + y^32xy + x^2 + 3xy^2,
e a reta tangente em (1,1) é
y - 1 = -tfrac23(x - 1)

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