Calcule as derivadas da funções abaixo
f(x)=x^sen(x^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^sin(x^2)
O conteúdo aqui é a diferenciação de uma potência em que tanto a base x quanto o expoente sin(x^2) dependem de x. Para resolver, vamos usar log-diferenciação, a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos y=f(x) e tomamos logaritmo natural em ambos os lados:
ln y = sin(x^2),ln x

Passo 3

Agora derivamos em relação a x. No lado esquerdo, ddx[ln y]=y'y. No direito, aplicamos regra do produto e cadeia:
ddx[sin(x^2),ln x] =l(cos(x^2)cdot2xr)ln x + sin(x^2)cdot1x
Logo,
y'y =2xcos(x^2),ln x + sin(x^2)x

Passo 4

Isolando y', obtemos
y' = yl(2xcos(x^2),ln x + tfracsin(x^2)xr)
Como y=x^sin(x^2), fica

Resposta

f'(x) = x^sin(x^2)!l(2xcos(x^2),ln x + tfracsin(x^2)xr)

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