(40 pontos) Seja
.
(a) (2 pontos) Determine o domínio de
.
(b) (7 pontos) Determine os intervalos onde
é crescente e os intervalos onde
é decrescente.
(c) (7 pontos) Determine os pontos críticos de
, caso existam.
(d) (7 pontos) Determine os intervalos onde o gráfico de
é côncava para cima e/ou côncava para baixo.
(e) (7 pontos) Determine os pontos de inflexão do gráfico de
. caso existam.
(f) (5 pontos) Determine as assíntotas horizontais ao gráfico de
, caso existam.
(g) (5 pontos) Determine as assíntotas verticais ao gráfico de
, caso existam.
(a) (2 pontos) Determine o domínio de
(b) (7 pontos) Determine os intervalos onde
(c) (7 pontos) Determine os pontos críticos de
(d) (7 pontos) Determine os intervalos onde o gráfico de
(e) (7 pontos) Determine os pontos de inflexão do gráfico de
(f) (5 pontos) Determine as assíntotas horizontais ao gráfico de
(g) (5 pontos) Determine as assíntotas verticais ao gráfico de
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
nos seguintes tópicos:
- (a) domínio;
- (b) monotonicidade;
- (c) pontos críticos;
- (d) concavidade;
- (e) pontos de inflexão;
- (f) assíntotas horizontais;
- (g) assíntotas verticais.
Para isso vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem e limites em infinidade.
Passo 2
Determinar o domínio de
.
A função está definida para todo
, pois o arco-tangente aceita qualquer real.
Logo,
A função
Logo,
Passo 3
Estudar monotonicidade via a primeira derivada.
Sabemos que
Sabemos que
Como
para todo
, temos
em todo o domínio. Portanto
é crescente em
e não há intervalo de decrescimento.
Passo 4
Determinar pontos críticos, isto é, onde
ou
é indefinida.
Como é sempre estritamente positivo e definida para todo
, não há
tal que
nem ponto de descontinuidade.
Logo, não existem pontos críticos.
Como
Logo, não existem pontos críticos.
Passo 5
Estudar concavidade via a segunda derivada.
Calculamos
Calculamos
Analisando o sinal de
:
para tem
, logo
(côncava para cima);
para tem
, logo
(côncava para baixo).
para
para
Passo 6
Determinar pontos de inflexão: são
onde
e há troca de concavidade.
Temos só em
. Como a concavidade muda de cima para baixo ao atravessar
, existe ponto de inflexão em
. O ponto de inflexão no gráfico é
.
Temos
Passo 7
Determinar assíntotas horizontais via limites em infinito.
Logo existem as assíntotas horizontais
Passo 8
Determinar assíntotas verticais: procuram-se valores de
onde
não está definida ou explode.
Como está definida e limitada em todo
, não há assíntotas verticais.
Como
Resposta
(a)
(b) Crescente em ; não é decrescente em nenhum intervalo.
(c) Não há pontos críticos.
(d) Côncava para cima em , côncava para baixo em
.
(e) Ponto de inflexão em .
(f) Assíntotas horizontais e
.
(g) Não há assíntotas verticais.
(b) Crescente em
(c) Não há pontos críticos.
(d) Côncava para cima em
(e) Ponto de inflexão em
(f) Assíntotas horizontais
(g) Não há assíntotas verticais.