(40 pontos) Seja f(x)=arctan x.
(a) (2 pontos) Determine o domínio de f.
(b) (7 pontos) Determine os intervalos onde f é crescente e os intervalos onde f é decrescente.
(c) (7 pontos) Determine os pontos críticos de f, caso existam.
(d) (7 pontos) Determine os intervalos onde o gráfico de f é côncava para cima e/ou côncava para baixo.
(e) (7 pontos) Determine os pontos de inflexão do gráfico de f. caso existam.
(f) (5 pontos) Determine as assíntotas horizontais ao gráfico de f, caso existam.
(g) (5 pontos) Determine as assíntotas verticais ao gráfico de f, caso existam.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
f(x)=arctan x
nos seguintes tópicos:
  • (a) domínio;
  • (b) monotonicidade;
  • (c) pontos críticos;
  • (d) concavidade;
  • (e) pontos de inflexão;
  • (f) assíntotas horizontais;
  • (g) assíntotas verticais.
    Para isso vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem e limites em infinidade.

Passo 2

Determinar o domínio de f.
A função arctan x está definida para todo xinR, pois o arco-tangente aceita qualquer real.
Logo,
Dom(f)=(-infty,infty)

Passo 3

Estudar monotonicidade via a primeira derivada.
Sabemos que
f'(x)=ddxl(arctan xr)=11+x^2
Como 1+x^2>0 para todo xinR, temos f'(x)>0 em todo o domínio. Portanto f é crescente em (-infty,infty) e não há intervalo de decrescimento.

Passo 4

Determinar pontos críticos, isto é, onde f'(x)=0 ou f' é indefinida.
Como f'(x)=1/(1+x^2) é sempre estritamente positivo e definida para todo x, não há x tal que f'(x)=0 nem ponto de descontinuidade.
Logo, não existem pontos críticos.

Passo 5

Estudar concavidade via a segunda derivada.
Calculamos
f''(x)=ddxl(11+x^2r) =-2x(1+x^2)^2
Analisando o sinal de f''(x):
para x<0 tem -2x>0, logo f''(x)>0 (côncava para cima);
para x>0 tem -2x<0, logo f''(x)<0 (côncava para baixo).

Passo 6

Determinar pontos de inflexão: são x onde f''(x)=0 e há troca de concavidade.
Temos f''(x)=0 só em x=0. Como a concavidade muda de cima para baixo ao atravessar 0, existe ponto de inflexão em x=0. O ponto de inflexão no gráfico é l(0,f(0)r)=(0,0).

Passo 7

Determinar assíntotas horizontais via limites em infinito.
limxto+inftyarctan x=pi2, limxto-inftyarctan x=-pi2
Logo existem as assíntotas horizontais
y=pi2 e y=-pi2

Passo 8

Determinar assíntotas verticais: procuram-se valores de x onde f não está definida ou explode.
Como arctan x está definida e limitada em todo R, não há assíntotas verticais.

Resposta

(a) ;(-infty,infty)
(b) Crescente em (-infty,infty); não é decrescente em nenhum intervalo.
(c) Não há pontos críticos.
(d) Côncava para cima em (-infty,0), côncava para baixo em (0,infty).
(e) Ponto de inflexão em (0,0).
(f) Assíntotas horizontais y=tfracpi2 e y=-tfracpi2.
(g) Não há assíntotas verticais.

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