Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região.
y=raizx-1, x-3 y+1=0

Passo 1

O enunciado pede que a gente desenhe a região comum às curvas
y = raizx-1
e
x - 3y + 1 = 0
e, em seguida, calcule a área dessa região. Aqui o conteúdo é geometria no plano e cálculo de área por integração. Vamos precisar de (a) encontrar os pontos de intersecção, (b) decidir qual curva é fronteira esquerda e qual é fronteira direita, e (c) montar e calcular a integral.

Passo 2

Para achar os pontos em que as curvas se cruzam, escrevemos a reta como
x = 3y - 1
e a parábola como
x = y^2 + 1
Igualando:
3y - 1 = y^2 + 1 Longrightarrow y^2 - 3y + 2 = 0 Longrightarrow (y-1)(y-2)=0
Logo as soluções são y=1 e y=2. Substituindo em x=3y-1 dá os pontos de intersecção (2,1) e (5,2).

Passo 3

No plano xy, a parábola x = y^2 + 1 abre para a direita com vértice em (1,0), e a reta x = 3y - 1 é uma linha crescente que passa por (-1,0). Entre y=1 e y=2 verificamos, por exemplo em y=1,5,
y^2+1 = 3,25 e 3y-1 = 3,5,
ou seja, a parábola fica à esquerda da reta.
Portanto, a região limitada é aquela para a qual
1 <= y <= 2, y^2+1 <= x <= 3y-1

Passo 4

Montamos a integral da área usando fatias verticais (integramos em y):
A = integraly=1^2 l[(3y - 1) - (y^2 + 1)r];dy = integral1^2 l(-y^2 +3y -2r);dy

Passo 5

Calculando a integral:
integral l(-y^2 +3y -2r),dy = -y^33 + 3y^22 -2y
Avaliado de 1 a 2:
l(-tfrac83 + tfrac3cdot42 -4r) - l(-tfrac13 + tfrac3cdot12 -2r) = l(-tfrac83+6-4r) - l(-tfrac13+1,5-2r) = l(-tfrac83+2r) - l(-tfrac13-0,5r) = -tfrac23 -l(-tfrac56r) = tfrac16

Resposta

A área da região é 16.

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