Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região.
Passo 1
O enunciado pede que a gente desenhe a região comum às curvas
e
e, em seguida, calcule a área dessa região. Aqui o conteúdo é geometria no plano e cálculo de área por integração. Vamos precisar de (a) encontrar os pontos de intersecção, (b) decidir qual curva é fronteira esquerda e qual é fronteira direita, e (c) montar e calcular a integral.
Passo 2
Para achar os pontos em que as curvas se cruzam, escrevemos a reta como
e a parábola como
Igualando:
Logo as soluções são
e
. Substituindo em
dá os pontos de intersecção
e
.
Passo 3
No plano
, a parábola
abre para a direita com vértice em
, e a reta
é uma linha crescente que passa por
. Entre
e
verificamos, por exemplo em
,
ou seja, a parábola fica à esquerda da reta.
Portanto, a região limitada é aquela para a qual
Portanto, a região limitada é aquela para a qual
Passo 4
Montamos a integral da área usando fatias verticais (integramos em
):
Passo 5
Calculando a integral:
Avaliado de
a
:
Resposta
A área da região é
.