Questão 3(2,0) : Encontre o intervalo de convergência da série de potências abaixo
sumn=1^infty (-1)^n x^nraizn^2+1

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty (-1)^n x^nraizn^2+1
O conteúdo é séries de potências e vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois testar os extremos x=pm1.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão a an=(-1)^nx^nraizn^2+1. Calculamos
L=limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|(-1)^n+1x^,n+1/raiz(n+1)^2+1(-1)^nx^n/raizn^2+1| =limntoinfty|x|raizn^2+1raiz(n+1)^2+1 =|x|cdot1
Pelo teste da razão, converge se L<1, ou seja |x|<1. Assim o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Testamos x=1. A série fica
sumn=1^infty(-1)^nraizn^2+1
Os termos em módulo bn=1raizn^2+1 são positivos, decrescentes e tendem a zero. Pelo critério de Leibniz (série alternada), essa série converge condicionalmente.

Passo 4

Testamos x=-1. A série vira
sumn=1^infty(-1)^n(-1)^nraizn^2+1 =sumn=1^infty1raizn^2+1
Como 1raizn^2+1sim1n e sum1/n diverge, essa série diverge também.

Resposta

O intervalo de convergência é ;(-1,1].)

Exercícios relacionados