(30 pontos)
(a) (10 pontos) Seja
. Mostre, sem derivar
, que existe um número
tal que
.
(b) (20 pontos) Considere a curva dada pela equação:
. Calcule
e encontre a equação da reta tangente à curva no ponto
(a) (10 pontos) Seja
(b) (20 pontos) Considere a curva dada pela equação:
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na parte (a) temos
em
e precisamos mostrar, sem derivar explicitamente
, que existe
com
. Na parte (b) a curva é dada por
e devemos calcular
por diferenciação implícita e encontrar a reta tangente no ponto
. O conteúdo usado será o Teorema do Valor Médio em (a) e regra do produto com diferenciação implícita em (b).
Passo 2
Para (a) verificamos que
é contínua em
e derivável em
, logo pelo Teorema do Valor Médio existe
tal que
Como
e
, a taxa média é
portanto existe
com
.
Passo 3
Para (b) diferenciamos implicitamente
em relação a
, usando
e a regra do produto:
Somando tudo e igualando a zero:
Passo 4
Agrupando os termos que têm
e isolando
fica
Passo 5
No ponto
calculamos
logo
A reta tangente em
tem equação
Resposta
a) Pelo Teorema do Valor Médio existe
tal que
.
b)
b)
e a reta tangente em
é