(30 pontos)
(a) (10 pontos) Seja f(x)=x^2-x. Mostre, sem derivar f, que existe um número c in[1,2] tal que f^prime(c)=2.
(b) (20 pontos) Considere a curva dada pela equação: y^2 x+x^2 y+x y^3=3. Calcule d yd x e encontre a equação da reta tangente à curva no ponto (1,1)

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na parte (a) temos f(x)=x^2-x em [1,2] e precisamos mostrar, sem derivar explicitamente f, que existe cin[1,2] com f'(c)=2. Na parte (b) a curva é dada por
y^2x + x^2y + xy^3 = 3
e devemos calcular tfracdydx por diferenciação implícita e encontrar a reta tangente no ponto (1,1). O conteúdo usado será o Teorema do Valor Médio em (a) e regra do produto com diferenciação implícita em (b).

Passo 2

Para (a) verificamos que f é contínua em [1,2] e derivável em (1,2), logo pelo Teorema do Valor Médio existe cin(1,2) tal que
f'(c) ;=;f(2)-f(1)2-1
Como f(1)=1-1=0 e f(2)=4-2=2, a taxa média é
f(2)-f(1)2-1=2-01=2,
portanto existe cin(1,2) com f'(c)=2.

Passo 3

Para (b) diferenciamos implicitamente
y^2x + x^2y + xy^3 = 3
em relação a x, usando y'=dy/dx e a regra do produto:
ddx(y^2x)=xcdot2y,y' + y^2, ddx(x^2y)=2x,y + x^2y', ddx(xy^3)=y^3 + xcdot3y^2,y'
Somando tudo e igualando a zero:
xcdot2y,y' + y^2 + 2x,y + x^2y' + y^3 + xcdot3y^2,y' = 0

Passo 4

Agrupando os termos que têm y' e isolando y' fica
(2xy + x^2 + 3xy^2),y' + (y^2 + 2xy + y^3)=0 Longrightarrow y' = -y^2 + 2xy + y^32xy + x^2 + 3xy^2

Passo 5

No ponto (1,1) calculamos
numerador=1^2+2cdot1cdot1+1^3=4, denominador=2cdot1cdot1+1^2+3cdot1cdot1^2=6,
logo
y'(1,1) = -46 = -23
A reta tangente em (1,1) tem equação
y-1 = -tfrac23(x-1)

Resposta

a) Pelo Teorema do Valor Médio existe cin(1,2) tal que f'(c)=2.
b)
dydx = -y^2 + 2xy + y^32xy + x^2 + 3xy^2,
e a reta tangente em (1,1) é
y - 1 = -tfrac23(x - 1)

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