Calcule as derivadas da funções abaixo
(b) f(x)=(x^2+1)^sen(x^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(x^2+1r)^sin(x^2)
Aqui tanto a base u(x)=x^2+1 quanto o expoente v(x)=sin(x^2) dependem de x, então a forma mais prática é usar diferenciação logarítmica: tomar ln f(x), derivar e depois voltar para f'(x).

Passo 2

Definimos
y = f(x) Longrightarrow ln y = lnl((x^2+1)^sin(x^2)r)
Como ln(a^b)=bln a, obtemos
ln y = sin(x^2),ln(x^2+1)

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo temos
ddxl(ln yr) = y'y
No lado direito aplicamos regra do produto em sin(x^2)cdotln(x^2+1):
ddxl[sin(x^2),ln(x^2+1)r] = underbraceddxsin(x^2) 2xcos(x^2)cdotln(x^2+1) + sin(x^2)cdotunderbraceddxln(x^2+1) 2xx^2+1
Logo,
y'y =2xcos(x^2),ln(x^2+1) +2x,sin(x^2)x^2+1

Passo 4

Bast a multiplicar ambos os lados por y=f(x) para encontrar y':
y' = f'(x) = f(x),l[2xcos(x^2),ln(x^2+1)+2x,sin(x^2)x^2+1r]
Como f(x)=(x^2+1)^sin(x^2), podemos escrever:

Resposta

f'(x)=(x^2+1)^sin(x^2)!l[2xcos(x^2),ln(x^2+1)+2x,sin(x^2)x^2+1r]

Exercícios relacionados