(30 pontos) Calcule f^prime(x)
y=raiz3 x^3-6 x^2+6 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $, onde $ y = \sqrt{3x^{3} - 6x^{2} + 6x} $. Isso envolve o conteúdo de derivadas, mais especificamente a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização:
y = raiz3x^3 - 6x^2 + 6x
Aqui, dentro da raiz quadrada temos a expressão $ 3x^{3} - 6x^{2} + 6x $. Para derivar, vamos usar a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna.

Passo 3

Vamos identificar as partes da regra da cadeia:
  • Função externa: $ \sqrt{u} $, onde $ u = 3x^{3} - 6x^{2} + 6x $
  • Função interna: $ u = 3x^{3} - 6x^{2} + 6x $
Primeiro, derivamos a função externa em relação a $ u $:
raizu

Passo 4

Agora, derivamos a função interna em relação a $ x $:
x

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as duas derivadas que encontramos:
dydx = 12raizu times dudx
Substituindo $ u $ e $ \frac{du}{dx} $:
u

Resposta

f^prime(x) = 9x^2 - 12x + 62 raiz3x^3 - 6x^2 + 6x

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