À medida que uma gota de chuva cai, ela se evapora, mantendo sua forma esférica. Supondo ainda que a taxa segundo a qual a gota evapora é proporcional à aréa de sua superfície e que a resistência do ar é desprezível, a velocidade v(t) da gota de chuva é dada por
d vd t+3(k / rho)(k / rho) t+r0 v=g
(Aqui, rho indica a densidade da água, r0 o raio da gota em t=0, k<0 é a constante de proporcionalidade, g é a gravidade e o sentido positivo é considerado para baixo).
Determine v(t) se a gota partir do repouso.

Passo 1

O enunciado apresenta uma equação diferencial linear de primeira ordem que descreve a velocidade de uma gota: dvdt+3(k/rho)(k/rho)t+r0,v=g. O objetivo é resolver essa equação diferencial linear utilizando o fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação no formato padrão dvdt+P(t),v=Q(t), identificando
P(t)=3(k/rho)(k/rho)t+r0, Q(t)=g

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(t)=expl(integral P(t),dtr)=expl(3lnl((k/rho)t+r0r)r)=l((k/rho)t+r0r)^3

Passo 4

Multiplicamos a equação por mu(t) e obtemos
ddtl(v,( (k/rho)t+r0)^3r)=g,( (k/rho)t+r0)^3

Passo 5

Integramos em t. Fazendo a substituição u=(k/rho)t+r0 e dt=(rho/k),du, resulta
integral g,u^3,dt=grho4k,u^4+C
Voltando a t, temos
v,( (k/rho)t+r0)^3=grho4k( (k/rho)t+r0)^4+C

Passo 6

Isolando v(t) e impondo a condição inicial v(0)=0, determinamos
v(t)=grho4kl((k/rho)t+r0r)+Cl((k/rho)t+r0r)^-3,
0=grho4kr0+C,r0^-3 Longrightarrow C=-grho4kr0^4

Passo 7

Substituindo C em v(t), chegamos à solução final:
v(t)=grho4kl((k/rho)t+r0r)-grho4kr0^4l((k/rho)t+r0r)^3

Resposta

v(t)=grho4kl((k/rho)t+r0r)-grho4kr0^4l((k/rho)t+r0r)^3

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