À medida que uma gota de chuva cai, ela se evapora, mantendo sua forma esférica. Supondo ainda que a taxa segundo a qual a gota evapora é proporcional à aréa de sua superfície e que a resistência do ar é desprezível, a velocidade
da gota de chuva é dada por
(Aqui,
indica a densidade da água,
o raio da gota em
é a constante de proporcionalidade, g é a gravidade e o sentido positivo é considerado para baixo).
Determine
se a gota partir do repouso.
Determine
Passo 1
O enunciado apresenta uma equação diferencial linear de primeira ordem que descreve a velocidade de uma gota:
. O objetivo é resolver essa equação diferencial linear utilizando o fator integrante.
Passo 2
Colocamos a equação no formato padrão
, identificando
Passo 3
Calculamos o fator integrante
Passo 4
Multiplicamos a equação por
e obtemos
Passo 5
Integramos em
. Fazendo a substituição
e
, resulta
Voltando a
Passo 6
Isolando
e impondo a condição inicial
, determinamos
Passo 7
Substituindo
em
, chegamos à solução final: