(30 pontos ) Calcule y.
y=raiz3 x^3-6 x^2+5 x

Passo 1

Beleza, vamos calcular $ y $, que é igual à raiz quadrada de $ 3x^{3} - 6x^{2} + 5x $. Isso envolve trabalhar com funções polinomiais e raiz quadrada. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão dentro da raiz e entender para quais valores de $ x $ o valor de $ y $ será real.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: $ 3x^{3} - 6x^{2} + 5x $. Podemos fatorar um $ x $ em comum:
3x^3 - 6x^2 + 5x

Passo 3

Agora, vamos analisar a parte dentro dos parênteses: $ 3x^{2} - 6x + 5 $. Para ver se conseguimos simplificar mais, vamos calcular o discriminante dessa expressão quadrática. O discriminante $ D $ é dado por:
3x^2 - 6x + 5
Onde $ a = 3 $, $ b = -6 $ e $ c = 5 $. Substituindo:
D
Um discriminante negativo significa que a equação quadrática não tem raízes reais, ou seja, não podemos fatorar mais essa expressão usando números reais.

Passo 4

Então, a expressão simplificada para $ y $ fica:
y

Passo 5

Agora, vamos garantir que o valor dentro da raiz seja não negativo, pois a raiz quadrada de um número negativo não é real. Portanto, precisamos que:
3x^3 - 6x^2 + 5x >= 0
Isso nos dá as restrições para os valores de $ x $ que tornam $ y $ um número real. Para encontrar esses valores, poderíamos resolver a desigualdade, mas isso envolve métodos um pouco mais avançados como o uso de gráficos ou cálculo de raízes da equação cúbica.

Resposta

A expressão para $ y $ simplificada é:
y

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