pontos
Calcule
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Passo 1
Beleza, vamos calcular $ y $, que é igual à raiz quadrada de $ 3x^{3} - 6x^{2} + 5x $. Isso envolve trabalhar com funções polinomiais e raiz quadrada. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão dentro da raiz e entender para quais valores de $ x $ o valor de $ y $ será real.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: $ 3x^{3} - 6x^{2} + 5x $. Podemos fatorar um $ x $ em comum:
Passo 3
Agora, vamos analisar a parte dentro dos parênteses: $ 3x^{2} - 6x + 5 $. Para ver se conseguimos simplificar mais, vamos calcular o discriminante dessa expressão quadrática. O discriminante $ D $ é dado por:
Onde $ a = 3 $, $ b = -6 $ e $ c = 5 $. Substituindo:
Um discriminante negativo significa que a equação quadrática não tem raízes reais, ou seja, não podemos fatorar mais essa expressão usando números reais.
Passo 4
Então, a expressão simplificada para $ y $ fica:
Passo 5
Agora, vamos garantir que o valor dentro da raiz seja não negativo, pois a raiz quadrada de um número negativo não é real. Portanto, precisamos que:
Isso nos dá as restrições para os valores de $ x $ que tornam $ y $ um número real. Para encontrar esses valores, poderíamos resolver a desigualdade, mas isso envolve métodos um pouco mais avançados como o uso de gráficos ou cálculo de raízes da equação cúbica.
Resposta
A expressão para $ y $ simplificada é: