l 2 y^prime prime-3 y^prime+y=0 y(0)=2 y^prime(0)=12
Resposta: square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as soluções da equação característica e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
2 y'' - 3 y' + y = 0
Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, vamos encontrar a equação característica associada.

Passo 3

A equação característica de uma equação diferencial da forma $ a y’’ + b y’ + c y = 0 $ é dada por:
a y'' + b y' + c y = 0
No nosso caso, $ a = 2 $, $ b = -3 $ e $ c = 1 $. Então, a equação característica é:
a r^2 + b r + c = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r
Substituindo os valores:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então, temos duas soluções para $ r $:
r = -(-3) pm raiz(-3)^2 - 4 cdot 2 cdot 12 cdot 2 = 3 pm raiz9 - 84 = 3 pm 14

Passo 5

Com os valores de $ r $ encontrados, a solução geral da equação diferencial é:
r
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Vamos aplicar a condição inicial $ y(0) = 2 $:
y(0) = 2
Isso nos dá a primeira equação:
y(0) = C1 e^0 + C2 e^0 = C1 + C2 = 2 çã

Passo 7

Agora, vamos derivar $ y(x) $ para aplicar a segunda condição $ y’(0) = \frac{1}{2} $:
y(x)
Aplicando $ x = 0 $:
y'(0) = 12
Isso nos dá a segunda equação:
y'(x) = C1 e^x + 12 C2 e^12x çã

Passo 8

Agora, temos um sistema de equações:
C1 + C2 = 2 C1 + 12 C2 = 12
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a segunda equação da primeira:
(C1 + C2) - (C1 + 12 C2) = 2 - 12 Rightarrow 12 C2 = 32 Rightarrow C2 = 3
Substituindo $ C_2 = 3 $ na Equação 1:
C2 = 3

Passo 9

Agora que temos $ C_1 = -1 $ e $ C_2 = 3 $, substituímos na solução geral:
C1 = -1

Resposta

y(x) = -e^x + 3 e^12x

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