Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as soluções da equação característica e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
2 y'' - 3 y' + y = 0
Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, vamos encontrar a equação característica associada.
Passo 3
A equação característica de uma equação diferencial da forma $ a y’’ + b y’ + c y = 0 $ é dada por:
a y'' + b y' + c y = 0
No nosso caso, $ a = 2 $, $ b = -3 $ e $ c = 1 $. Então, a equação característica é:
a r^2 + b r + c = 0
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara: