A equação
P(x) y^prime prime+Q(x) y^prime+R(x) y=0
é dita exata se puder ser escrita na forma:
[P(x) y^prime]^prime+[f(x) y^prime]^prime=0
onde f(x) pode ser determinada em função de P(x), Q(x) e R(x).
Essa última equação pode ser integrada uma vez imediatamente, resultando em uma equação de primeira ordem para y que pode ser resolvida como uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes variáveis.
Uma condição necessária e suficiente para que a equação seja exata é que P^prime prime(x)+Q^prime(x)+R(x)=0
Determine a solução da seguinte equação diferencial
sen x y^prime prime+cos x y^prime=0
Escolha uma opção:
y=C1 cos x+C2
y=C1 e^-x+C2
y=C1 e^x+C2 e^-2 x
y=C1 ln |tg x2|+C2
y=C1-C2x
y=C1 x+C2x
Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver uma equação diferencial do tipo sin(x) y'' + cos(x) y' = 0. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de segunda ordem e vamos precisar usar conceitos de cálculo como integração e equações lineares. Vamos ver como resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Dividindo todos os termos por sin(x), a equação fica:
y'' + cot(x) y' = 0
Isso simplifica a equação para uma forma mais fácil de trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos deixar u = y'. Dessa forma, a equação fica:
u' + cot(x) u = 0
Isso transforma nossa equação original em uma equação diferencial de primeira ordem, que é mais simples de resolver.

Passo 4

Essa nova equação u' + cot(x) u = 0 é uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, precisamos encontrar um fator integrante. O fator integrante I(x) é dado por:
I(x) = e^integral cot(x) dx = e^ln|sin(x)| = sin(x)
Multiplicando toda a equação por sin(x), temos:
sin(x) u' + cos(x) u = 0
Isso pode ser reescrito como:
ddx [u sin(x)] = 0
Integrando ambos os lados, conseguimos:
u sin(x) = C1
Onde C1 é uma constante de integração.

Passo 5

Agora, resolvemos para u:
u = C1sin(x)
Lembrando que u = y', então:
y' = C1sin(x)
Para encontrar y, precisamos integrar y'.

Passo 6

Integrando y', temos:
y = C1 integral 1sin(x) dx + C2
A integral de 1sin(x) é conhecida e resulta em:
integral 1sin(x) dx = ln|tan(x2)| + C
Então, substituindo de volta:
y = C1 ln|tan(x2)| + C2
Onde C2 é outra constante de integração.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = C1 ln |tg x2| + C2

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