Considere o problema de valor inicial (P.V.I): ly^prime(t)+2t y=t y(a)=3. Supondo a=-2, encontre a solução y=y(t) do P.V.I como função explícita de t. Diga em qual intervalo a solução está definida.

Passo 1

O problema é um EDO linear de 1ª ordem do tipo y'+p(t)y=g(t) com p(t)=2/t e g(t)=t, além da condição inicial y(-2)=3. Vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Calcule o fator integrante mu(t):
mu(t)=expl(integral p(t),dtr)=expl(integral 2tdtr)=expl(2ln|t|r)=t^2,
válido para tneq0.

Passo 3

Multiplique a equação original por mu(t)=t^2. Assim,
(t^2y)'=t^2y'+2t y=t^3
Integrando em relação a t:
integral (t^2y)',dt=t^2y=integral t^3dt=t^44+C

Passo 4

Use a condição inicial y(-2)=3 para achar C. Substituindo t=-2 e y=3 em t^2y=tfract^44+C:
(-2)^2cdot3=(-2)^44+CLongrightarrow4cdot3=164+CLongrightarrow12=4+CLongrightarrow C=8

Passo 5

Finalmente, isole y e obtenha a solução explícita:
y(t)=t^4/4+Ct^2=t^24+8t^2
Como o ponto inicial é t=-2 e o método exige tneq0, a solução é válida no intervalo que contenha -2 sem passar por zero, isto é (-infty,0).

Resposta

y(t)=\frac{t2}{4}+\frac{8}{t2}, definida em (-\infty,0).

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