( 30 pontos) Um conjunto cilindro-pistão contém 200 g de água a 50 kPa e apresenta volume específico de 2,10 \mathrm{~m}^{3} \cdot \mathrm{~kg}^{-1}. O conjunto é aquecido segundo um processo isobárico até alcançar 150^{\circ} \mathrm{C}. Determine o trabalho realizado e o calor transferido durante a mudança de estado.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo com calma para não nos perder):
  • Massa de água: m = 200\\ \mathrm{g} = 0{,}200\\ \mathrm{kg}.
  • Pressão constante do processo: P = 50\\ \mathrm{kPa}.
  • Estado inicial: pressão 50\\ \mathrm{kPa} e volume específico \,v_1=2{,}10\\ \mathrm{m^3\cdot kg^{-1}}.
  • Processo: aquecimento isobárico até a temperatura final T_2 = 150^\circ\mathrm{C}.
  • O que pedem: (1) trabalho realizado durante a mudança de estado; (2) calor transferido durante a mudança de estado.
Informações relevantes que já vejo aqui e que usarei:
  • Como o processo é isobárico (pressão constante), o trabalho do sistema fechado vale \;W = \int P\,dV = P\,(V_2-V_1).
  • Para energia térmica (primeira lei) em processo a pressão constante, o calor transferido satisfa z \;Q = m\,(h_2-h_1), onde h é a entalpia específica. Vou usar essa forma porque é a mais direta em processos isobáricos (mostrarei a dedução quando for útil).
  • Precisarei identificar se o estado inicial é líquido saturado, mistura saturada ou vapor superaquecido à pressão dada; para isso comparo v_1 com v_f e v_g à mesma pressão (valores de tabela de vapor). Vou usar valores da tabela de vapor saturado à pressão P=50\\ \mathrm{kPa} e indicarei explicitamente os valores que “peguei da tabela”.

Passo 2

Converter unidades e calcular volumes totais (passo mecânico inicial, fácil e importante):
  • Massa: m=0{,}200\\ \mathrm{kg}.
  • Volume total inicial:
V_1 = m\,v_1 = 0{,}200\cdot 2{,}10 = 0{,}420\\ \mathrm{m^3}.

Passo 3

Identificar o estado inicial (usar tabela de vapor saturado em P=50\\ \mathrm{kPa}):
  • Peguei da tabela de vapor saturado (tabela padrão de propriedades da água) os seguintes valores à pressão P=50\\ \mathrm{kPa}:
    • T_\text{sat}=81{,}33^\circ\mathrm{C}.
    • v_f \approx 0{,}001012\\ \mathrm{m^3\cdot kg^{-1}}.
    • v_g \approx 3{,}167\\ \mathrm{m^3\cdot kg^{-1}}.
    • h_f \approx 340{,}54\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.
    • h_{fg}\approx 2392{,}80\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}} (logo h_g=h_f+h_{fg}\approx 2733{,}34\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}).
  • Comparando \,v_1=2{,}10\\ \mathrm{m^3\cdot kg^{-1}} com v_f e v_g: tem v_f \ll v_1 < v_g. Portanto o estado inicial é uma mistura saturada (mistura líquido–vapor) à pressão 50\\ \mathrm{kPa}.
  • Vamos calcular a qualidade (fração mássica de vapor) \,x:
x=\frac{v_1-v_f}{v_g-v_f}\approx\frac{2{,}10-0{,}001012}{3{,}167-0{,}001012}\approx\frac{2{,}098988}{3{,}165988}\approx 0{,}6635.
(qualidade \approx 66{,}35\%.)

Passo 4

Calcular a entalpia específica inicial h_1 (mistura saturada):
  • Em mistura saturada vale h_1=h_f + x\,h_{fg}.
h_1 \approx 340{,}54 + 0{,}6635\cdot 2392{,}80 \approx 340{,}54 + 1587{,}70 \approx 1928{,}24\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.
Vou explicar rapidamente a ideia física desta fórmula (mastigando): h_f é a entalpia do líquido saturado; h_{fg} é a “entalpia de vaporização” (diferença entre vapor saturado e líquido saturado). Se a mistura tem fração x de massa em vapor, a entalpia específica da mistura é a média ponderada h_f + x(h_g-h_f). É direto e muito usado em problemas de vapor.

Passo 5

Identificar o estado final e obter propriedades em T_2=150^\circ\mathrm{C}, P=50\\ \mathrm{kPa}:
  • Como T_2=150^\circ\mathrm{C}>T_\text{sat}(50\\ \mathrm{kPa})=81{,}33^\circ\mathrm{C}, o estado final é vapor superaquecido à pressão fixa 50\\ \mathrm{kPa}.
  • Precisamos de v_2 (para o trabalho) e de h_2 (para o calor).
  • Para v_2 vou usar a equação dos gases ideais como aproximação razoável para vapor superaquecido (explico por que: vapor superaquecido, a pressăo é baixa e o comportamento aproxima-se do ideal; se tivesse tabela de superaquecimento eu poderia interpolar, mas a aproximação ideal é simples e suficiente para prova): \;P v = R T.
    • Constant de gás da água: R = 0{,}4615\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}.
    • Temperatura absoluta final: T_2 = 150^\circ\mathrm{C} = 423{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Colocando com P em kPa (lembrando que 1\\ \mathrm{kJ}=1\\ \mathrm{kPa\cdot m^3}):
v_2 = \frac{R\,T_2}{P} = \frac{0{,}4615\cdot 423{,}15}{50} \approx \frac{195{,}27}{50}\approx 3{,}9054\\ \mathrm{m^3\cdot kg^{-1}}.
  • Observação: um valor de tabela de vapor superaquecido daria número parecido; a ordem de grandeza está correta (maior que v_g de saturado).

Passo 6

Calcular o trabalho realizado W (processo isobárico):
  • Fórmula para sistema fechado e pressão constante:
W = P\,(V_2-V_1) = P\,m\,(v_2-v_1).
  • Já temos m=0{,}200\\ \mathrm{kg}, v_1=2{,}10, v_2\approx 3{,}9054\\ \mathrm{m^3\cdot kg^{-1}}, P=50\\ \mathrm{kPa}.
\Delta v = v_2-v_1 = 3{,}9054-2{,}10 = 1{,}8054\\ \mathrm{m^3\cdot kg^{-1}}.
\Delta V = m\,\Delta v = 0{,}200\cdot 1{,}8054 = 0{,}36108\\ \mathrm{m^3}.
W = P\,\Delta V = 50\\ \mathrm{kPa}\cdot 0{,}36108\\ \mathrm{m^3} = 18{,}054\\ \mathrm{kJ}.
(Usei que 1\\ \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m^3}=1\\ \mathrm{kJ}.)
  • Arredondando com 3 algarismos significativos: \;W \approx 18{,}05\\ \mathrm{kJ}.
Explicação didática rápida: trabalho é área sob curva P vs V. Como P é constante, é simplesmente retângulo base \Delta V e altura P. Fácil de desenhar na prova.

Passo 7

Calcular o calor transferido Q usando entalpias:
  • Para processo isobárico em sistema fechado, a primeira lei do ponto de vista prático dá:
Q = m\,(h_2-h_1),
porque \Delta u = Q - W e h=u+Pv implica Q = \Delta u + P\Delta v = \Delta(u+Pv)=\Delta h.
  • Já calculamos h_1. Precisamos de h_2 (entalpia do vapor superaquecido a P=50\\ \mathrm{kPa} e T_2=150^\circ\mathrm{C}).
  • Como não usei uma tabela de vapor superaquecido para h_2, vou estimar o acréscimo de entalpia sobre o vapor saturado com um c_p médio do vapor superaquecido. Isto é um procedimento padrão de aproximação: para vapor superaquecido leve, \;h(T)\approx h_g(T_\text{sat}) + \int_{T_\text{sat}}^{T} c_p(T)\,dT \approx h_g + c_p\,(T-T_\text{sat}) para um c_p médio.
  • Vou usar c_p\approx 1{,}90\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}} como valor médio razoável para vapor superaquecido nessa faixa (valor típico usado em exercícios). Então:
h_2 \approx h_g + c_p\,(T_2-T_\text{sat}).
  • Substituindo os números (peguei h_g da tabela saturada acima):
    • h_g \approx 2733{,}34\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.
    • T_\text{sat}=81{,}33^\circ\mathrm{C}.
\Delta T = T_2 - T_\text{sat} = 150 - 81{,}33 = 68{,}67\\ \mathrm{K}.
h_2 \approx 2733{,}34 + 1{,}90\cdot 68{,}67 \approx 2733{,}34 + 130{,}47 \approx 2863{,}81\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.
  • Agora o calor:
\Delta h = h_2-h_1 \approx 2863{,}81 - 1928{,}24 = 935{,}57\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.
Q = m\,\Delta h = 0{,}200\cdot 935{,}57 \approx 187{,}11\\ \mathrm{kJ}.
  • Arredondando: Q \approx 187{,}1\\ \mathrm{kJ}.
Comentários didáticos sobre esse passo: se o problema der tabelas de vapor superaquecido, usa-se o valor exato de h_2 por interpolação; aqui fiz aproximação com c_p médio, que é o que se costuma fazer em provas quando só se pede técnica e valor aproximado. O resultado fica bastante próximo do resultado com tabela.

Passo 8

Verificação rápida de consistência (sanity check):
  • Energia injetada Q\approx 187{,}1\\ \mathrm{kJ}. Parte vira trabalho W\approx 18{,}05\\ \mathrm{kJ} e o resto aumenta a energia interna/entalpia: Q-W\approx 169{,}05\\ \mathrm{kJ} (delta de energia interna do sistema). Ordem de grandeza coerente: a maior parte do calor vai para aumentar a entalpia (vaporização + superaquecimento), o trabalho é menor porque a pressão é baixa (50 kPa) e o volume inicial e final são alguns metros cúbicos por kg — o trabalho fica na casa de dezenas de kJ enquanto o calor absorvido é centenas de kJ.

Resposta

W \approx 18{,}05\\ \mathrm{kJ}
Q \approx 187{,}1\\ \mathrm{kJ}

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