( 30 pontos) Um conjunto pistão-cilindro contém 0,40 \mathrm{~kg} de vapor d’água saturado seco a 35^{\circ} \mathrm{C}. O sistema é submetido a um processo quase-estático de descompressão isotérmica até apresentar volume de 11,0 \mathrm{~m}^{3}. Determinar o trabalho realizado.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (peguei estes dados diretamente do enunciado):
  • Massa do vapor: m=0{,}40\\ \mathrm{kg}.
  • Estado inicial: vapor d’água saturado seco a 35^\circ\mathrm{C}.
  • Processo: descompressão quase-estática isotérmica (temperatura constante igual a 35^\circ\mathrm{C}).
  • Volume final do sistema: V_2=11{,}0\\ \mathrm{m}^3.
O que o problema pede:
  • Determinar o trabalho realizado W durante essa descompressão isotérmica quasi-estática.

Passo 2

Estratégia e hipóteses (explicação didática do que vou usar).
  • Para qualquer processo quasi-estático o trabalho realizado pelo sistema é
W=\int_{V_1}^{V_2} p\,\mathrm{d}V.
  • Se o vapor puder ser tratado como gás ideal durante o processo isotérmico (justificativa abaixo), a pressão é dada por
p=\frac{m R T}{V},
onde:
  • m é a massa ( \mathrm{kg});
  • R é a constante específica do vapor d’água ( R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)});
  • T é a temperatura absoluta ( \mathrm{K});
  • V é o volume total ( \mathrm{m}^3).
  • Substituindo p na integral obtemos, para processo isotérmico reversível do gás ideal,
W=\int_{V_1}^{V_2}\frac{m R T}{V}\,\mathrm{d}V = m R T \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
Explicação da fórmula: a integral de 1/V é \ln V, por isso surge o logaritmo natural do quociente dos volumes final e inicial. O produto mRT tem unidade de energia (quando R em \mathrm{kJ/(kg\;K)} e T em K, o produto fica em kJ/kg e multiplicado por m fica em kJ).
  • Justificativa da aproximação gás ideal: o vapor saturado seco a 35^\circ\mathrm{C} está a baixa pressão de saturação; ao expandir isotermicamente ele tende a ficar superaquecido a pressões mais baixas e, em muitos problemas didáticos, aproxima-se bem por gás ideal. Usarei essa aproximação. Também preciso do volume inicial V_1; como o estado inicial é vapor saturado seco, a pressão inicial é a pressão de saturação à 35^\circ\mathrm{C}. Vou usar a pressão de saturação obtida em tabelas de vapor:
p_{\mathrm{sat}}(35^\circ\mathrm{C})=5{,}628\\ \mathrm{kPa}.
(Valor tomado da tabela de vapor d’água.)

Passo 3

Calcular a temperatura absoluta e a constante R que vamos usar.
  • Temperatura:
T=35^\circ\mathrm{C}=35+273{,}15=308{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Constante do vapor d’água:
R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)}.

Passo 4

Determinar o volume inicial V_1.
  • Primeiro obtenho o volume específico inicial v_1 usando a lei dos gases ideais na condição de saturación (pressão inicial p_{\mathrm{sat}}):
v_1=\frac{R T}{p_{\mathrm{sat}}}.
Aqui v_1 tem unidade \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} se R estiver em \mathrm{kJ/(kg\;K)} e p_{\mathrm{sat}} em \mathrm{kPa} (porque 1\\ \mathrm{kJ}=1\\ \mathrm{kPa\cdot m^3}).
  • Substituindo os números:
v_1=\frac{0{,}4615\cdot 308{,}15}{5{,}628} \\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
Calculemos passo a passo:
0{,}4615\cdot 308{,}15 = 142{,}211225\quad(\mathrm{kJ/kg}).
v_1=\frac{142{,}211225}{5{,}628}=25{,}277\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}\quad(\text{aprox.}).
  • Volume total inicial:
V_1=m\,v_1=0{,}40\cdot 25{,}277=10{,}1108\\ \mathrm{m}^3\approx 10{,}11\\ \mathrm{m}^3.
Observação física: note que V_1 é próximo de V_2 (11,0 m^3), logo a expansão é moderada.

Passo 5

Calcular o trabalho usando a expressão do processo isotérmico para gás ideal.
  • Fórmula:
W=m R T \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
  • Já temos m R T:
m R T = 0{,}40\cdot 0{,}4615\cdot 308{,}15 = 56{,}8845\\ \mathrm{kJ}\quad(\text{aprox.}).
  • Fator logarítmico:
\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right)=\ln\!\left(\frac{11{,}0}{10{,}1108}\right)=\ln(1{,}08799)=0{,}08443\quad(\text{aprox.}).
  • Produto final:
W=56{,}8845\cdot 0{,}08443 = 4{,}803\\ \mathrm{kJ}\approx 4{,}80\\ \mathrm{kJ}.
Unidade final: 1\\ \mathrm{kJ}=10^3\\ \mathrm{J}, logo W\approx 4{,}80\times 10^3\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Comentários finais e verificação de hipóteses (dicas para prova).
  • A derivação do trabalho partiu da hipótese de que o vapor pode ser tratado como gás ideal durante a expansão isotérmica. Isso é aceitável aqui porque a pressão inicial é baixa ( p_{\mathrm{sat}}\approx 5{,}6\\ \mathrm{kPa}) e a expansão torna o vapor mais rarefeito; em problemas de prova essa aproximação é frequentemente usada. Se fosse exigido maior rigor, poderia-se consultar tabelas de propriedades do vapor superaquecido e integrar p(V) usando uma equação de estado real ou tabelas, mas isso é muito mais trabalhoso sem calculadora.
  • Confirme sempre na prova se é permitido usar a aproximação de gás ideal; se for pedido explicitamente usar dados das tabelas, repetir o cálculo com propriedades tabeladas será necessário.
  • Parabéns por chegar até aqui — lembrar de escrever claramente as hipóteses (isotérmico, reversível, gás ideal) vai somar pontos na hora da correção.

Resposta

W=4{,}80\\ \mathrm{kJ}

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