Água escoa em regime permanente através de um tubo de seçāo transversal circular e raio R=3 m. Calcular a velocidade uniforme U na entrada do tubo, sabendo que a distribuição de velocidades na sasda é dada por:
\begin{gathered} v_{x}=V_{\max }\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right) \\\ V_{\max }=3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{gathered}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a velocidade uniforme U na entrada do tubo.
Informações fornecidas (pegaram-se estes dados do enunciado e da figura):
  • Raio do tubo: R=3\\ \mathrm{m}.
  • Perfil de velocidade na saída (dependendo do raio radial r):
v_{x}=V_{\max}\!\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right).
  • Valor do máximo da velocidade: V_{\max}=3\\ \mathrm{m/s}.
  • A velocidade na entrada é uniforme e igual a U (isto é, no salão esquerdo da figura aparece escoamento “plug” com velocidade constante).
O que precisamos achar:
  • O valor numérico de U em \mathrm{m/s}.

Passo 2

Entender o princípio físico e a quantidade que vamos usar (aula rápida e didática).
  • Em regime permanente e para fluido incompressível, a vazão volumétrica que atravessa qualquer seção transversal é a mesma. Isso significa que a vazão na saída é igual à vazão na entrada.
  • A vazão volumétrica Q através de uma seção é a integral da componente axial da velocidade sobre a área transversal:
Q=\int_{A} v_{x}\,dA.
  • Para uma seção circular é natural usar coordenadas polares (radial r e ângulo \theta). O elemento de área em coordenadas polares é dA=r\,d\theta\,dr. Integrando \theta de 0 a 2\pi temos dA efetivo para integrar em r: dA=2\pi r\,dr.
  • Vamos calcular a vazão na saída usando o perfil dado. Aqui cada símbolo significa:
    • r: coordenada radial (distância ao eixo), varia de 0 a R.
    • V_{\max}: velocidade máxima no centro da saída (dada).
    • R: raio da seção.

Passo 3

Calcular a vazão Q na saída usando o perfil parabólico.
  • Escrever a integral:
Q=\int_{A} v_{x}\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R} V_{\max}\!\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right)\; r\,dr\,d\theta.
  • Integrando em \theta (simples multiplicação por 2\pi):
Q=2\pi V_{\max}\int_{0}^{R}\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right) r\,dr.
  • Resolver a integral em r. Separando termos:
\int_{0}^{R}\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right) r\,dr = \int_{0}^{R} r\,dr \;-\; \frac{1}{R^{2}}\int_{0}^{R} r^{3}\,dr.
Calcular cada integral:
\int_{0}^{R} r\,dr = \left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{R}=\frac{R^{2}}{2}, \qquad \int_{0}^{R} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{R}=\frac{R^{4}}{4}.
Substituindo:
\int_{0}^{R}\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right) r\,dr = \frac{R^{2}}{2} - \frac{1}{R^{2}}\cdot\frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{2}}{2}-\frac{R^{2}}{4}=\frac{R^{2}}{4}.
  • Portanto a vazão é:
Q=2\pi V_{\max}\cdot\frac{R^{2}}{4}=\frac{\pi}{2}V_{\max}R^{2}.

Passo 4

Relacionar a vazão com a velocidade uniforme de entrada U e resolver para U.
  • A área da seção é A=\pi R^{2}.
  • Se a velocidade na entrada é uniforme e igual a U, a vazão de entrada é
Q_{\text{in}}=U\cdot A=U\cdot\pi R^{2}.
  • Como Q_{\text{in}}=Q por conservação de vazão:
U\pi R^{2}=\frac{\pi}{2}V_{\max}R^{2}.
  • Simplificando (cancelando \pi R^{2} dos dois lados):
U=\frac{V_{\max}}{2}.
  • Substituindo o valor numérico de V_{\max}=3\\ \mathrm{m/s}:
U=\frac{3}{2}\\ \mathrm{m/s}=1{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Verificação rápida e interpretação (didática, para fixar o conceito).
  • A velocidade média sobre a seção é \overline{v}=Q/A=V_{\max}/2. Esse resultado faz sentido: para o perfil parabólico clássico V_{\max}(1-r^{2}/R^{2}) a média é metade do máximo.
  • Checagem de ordem de grandeza: U=1{,}5\\ \mathrm{m/s} é menor que V_{\max}=3\\ \mathrm{m/s}, como esperado porque a velocidade varia radialmente e só no centro atinge V_{\max}.

Resposta

U=1{,}5\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados