Água escoa em regime permanente através de um tubo de seçāo transversal circular e raio R=3 m. Calcular a velocidade uniforme U na entrada do tubo, sabendo que a distribuição de velocidades na sasda é dada por:
Valor do máximo da velocidade: V_{\max}=3\\ \mathrm{m/s}.
A velocidade na entrada é uniforme e igual a U (isto é, no salão esquerdo da figura aparece escoamento “plug” com velocidade constante).
O que precisamos achar:
O valor numérico de U em \mathrm{m/s}.
Passo 2
Entender o princípio físico e a quantidade que vamos usar (aula rápida e didática).
Em regime permanente e para fluido incompressível, a vazão volumétrica que atravessa qualquer seção transversal é a mesma. Isso significa que a vazão na saída é igual à vazão na entrada.
A vazão volumétrica Q através de uma seção é a integral da componente axial da velocidade sobre a área transversal:
Q=\int_{A} v_{x}\,dA.
Para uma seção circular é natural usar coordenadas polares (radial r e ângulo \theta). O elemento de área em coordenadas polares é dA=r\,d\theta\,dr. Integrando \theta de 0 a 2\pi temos dA efetivo para integrar em r: dA=2\pi r\,dr.
Vamos calcular a vazão na saída usando o perfil dado. Aqui cada símbolo significa:
r: coordenada radial (distância ao eixo), varia de 0 a R.
V_{\max}: velocidade máxima no centro da saída (dada).
R: raio da seção.
Passo 3
Calcular a vazão Q na saída usando o perfil parabólico.
Verificação rápida e interpretação (didática, para fixar o conceito).
A velocidade média sobre a seção é \overline{v}=Q/A=V_{\max}/2. Esse resultado faz sentido: para o perfil parabólico clássico V_{\max}(1-r^{2}/R^{2}) a média é metade do máximo.
Checagem de ordem de grandeza: U=1{,}5\\ \mathrm{m/s} é menor que V_{\max}=3\\ \mathrm{m/s}, como esperado porque a velocidade varia radialmente e só no centro atinge V_{\max}.