3.12 Considerando que o módulo de compressibilidade seja constante para a água do mar, deduza uma expressão para a variação da massa específica com a profundidade,
, abaixo da superficie. Mostre que o resultado pode ser escrito como
Passo 1
O enunciado pede para deduzir como a massa específica da água do mar varia com a profundidade
quando o módulo de compressibilidade é constante. Mais precisamente:
- Mostrar uma expressão para
, a massa específica à profundidade abaixo da superfície. - Mostrar que, em boa aproximação, essa expressão pode ser escrita como
Informações e definições que vamos usar (símbolos):
-
: massa específica da água à profundidade . -
: massa específica da água na superfície ( ). -
: módulo de compressibilidade (módulo volumétrico, assumido constante). -
: aceleração da gravidade (assumida constante). -
: pressão à profundidade .
Nada mais é fornecido pelo enunciado além de que
é constante. A resolução começa agora.
Passo 2
Definição do módulo de compressibilidade (módulo volumétrico) e relação com
.
O módulo volumétrico
é definido por
onde
é o volume do fluido. Vamos passar essa definição para uma forma em que apareça
(massa específica), porque
é o que queremos estudar. Lembre que massa específica é
(massa por volume) para massa
constante, logo
Substituindo na definição:
e usando
obtemos, passo a passo,
Mais direto e prático é reescrever a definição usando a relação diferencial:
Essa forma é útil porque relaciona a variação de pressão com a variação de densidade. A manipulação que leva a ela pode ser vista assim: a troca
implica
, portanto uma forma equivalente é
Passo 3
Equação hidrostática que relaciona pressão e profundidade.
Para um fluido em equilíbrio estático, a pressão varia com a profundidade segundo a equação hidrostática. Medindo a profundidade
para baixo (ou seja,
positivo abaixo da superfície), a relação é
Explicação curta: um aumento infinitesimal de profundidade
aumenta a coluna de fluido acima por uma pequena coluna de peso
, e isso se traduz num aumento de pressão
. Note que aqui
depende de
, porque a água se comprime um pouco conforme a pressão aumenta.
Passo 4
Combinar as duas relações para obter uma equação diferencial para
.
Temos de um lado
e de outro
Igualando as expressões para
:
Rearranjando para separar variáveis:
Essa é uma equação diferencial simples que relaciona
e
.
Passo 5
Integrar a equação diferencial entre a superfície (
,
) e profundidade
(
).
Integrando ambos os lados:
Calcule a integral do lado esquerdo:
portanto
Isso dá
Isolando
:
Passo 6
Resolver para
e obter a aproximação linear.
Invertendo a relação obtemos a expressão exata (dada a hipótese de
constante):
Para profundidades não muito grandes (ou seja, quando o parâmetro adimensional
é pequeno), podemos fazer uma expansão em série usando
Tomando
, obtemos a aproximação linear
Assim chegamos à forma pedida:
com
Passo 7
Comentários finais e condição de validade (como usar isso na prova).
- A dedução usou apenas duas ideias: definição do módulo volumétrico
e a equação hidrostática . Juntando-as obtém-se uma equação diferencial integrável. - A expressão exata é
. A versão linear é obtida por expansão para pequenas profundidades (ou seja, quando ). - Em provas, se pedirem a aproximação linear, escreva o passo de expansão e indique a condição de validade (pequenas variações de pressão/profundidade).
- Para lembrar:
cresce com e é inversamente proporcional a (quanto menos compressível a água, menor ).