3.12 Considerando que o módulo de compressibilidade seja constante para a água do mar, deduza uma expressão para a variação da massa específica com a profundidade, h, abaixo da superficie. Mostre que o resultado pode ser escrito como
\rho \approx \rho_{0}+b h

Passo 1

O enunciado pede para deduzir como a massa específica da água do mar varia com a profundidade h quando o módulo de compressibilidade é constante. Mais precisamente:
  • Mostrar uma expressão para \rho(h), a massa específica à profundidade h abaixo da superfície.
  • Mostrar que, em boa aproximação, essa expressão pode ser escrita como
\rho \approx \rho_{0}+b h.
Informações e definições que vamos usar (símbolos):
  • \rho(h): massa específica da água à profundidade h.
  • \rho_{0}: massa específica da água na superfície ( h=0).
  • K: módulo de compressibilidade (módulo volumétrico, assumido constante).
  • g: aceleração da gravidade (assumida constante).
  • P(h): pressão à profundidade h.
Nada mais é fornecido pelo enunciado além de que K é constante. A resolução começa agora.

Passo 2

Definição do módulo de compressibilidade (módulo volumétrico) e relação com \rho.
O módulo volumétrico K é definido por
K = -V\,\frac{dP}{dV},
onde V é o volume do fluido. Vamos passar essa definição para uma forma em que apareça \rho (massa específica), porque \rho é o que queremos estudar. Lembre que massa específica é \rho = m/V (massa por volume) para massa m constante, logo
\frac{dV}{V} = -\frac{d\rho}{\rho}.
Substituindo na definição:
K = -V\,\frac{dP}{dV} = -V\,\frac{dP}{dV}\cdot 1 = -V\,\frac{dP}{dV}
e usando dV/V = -d\rho/\rho obtemos, passo a passo,
K = -V\,\frac{dP}{dV} = -V\; \frac{dP}{dV} = -V\; dP\cdot\frac{1}{dV}.
Mais direto e prático é reescrever a definição usando a relação diferencial:
K = -V\frac{dP}{dV} = \rho\frac{dP}{d\rho}.
Essa forma é útil porque relaciona a variação de pressão com a variação de densidade. A manipulação que leva a ela pode ser vista assim: a troca dV/V = -d\rho/\rho implica dP = K\,dV/(-V) = K\,d\rho/\rho, portanto uma forma equivalente é
dP = K\,\frac{d\rho}{\rho}.

Passo 3

Equação hidrostática que relaciona pressão e profundidade.
Para um fluido em equilíbrio estático, a pressão varia com a profundidade segundo a equação hidrostática. Medindo a profundidade h para baixo (ou seja, h positivo abaixo da superfície), a relação é
\frac{dP}{dh} = \rho(h)\,g.
Explicação curta: um aumento infinitesimal de profundidade dh aumenta a coluna de fluido acima por uma pequena coluna de peso \rho g\,dh, e isso se traduz num aumento de pressão dP=\rho g\,dh. Note que aqui \rho depende de h, porque a água se comprime um pouco conforme a pressão aumenta.

Passo 4

Combinar as duas relações para obter uma equação diferencial para \rho(h).
Temos de um lado
dP = K\,\frac{d\rho}{\rho},
e de outro
dP = \rho\,g\,dh.
Igualando as expressões para dP:
K\,\frac{d\rho}{\rho} = \rho\,g\,dh.
Rearranjando para separar variáveis:
\frac{d\rho}{\rho^{2}} = \frac{g}{K}\,dh.
Essa é uma equação diferencial simples que relaciona \rho e h.

Passo 5

Integrar a equação diferencial entre a superfície ( h=0, \rho=\rho_{0}) e profundidade h ( \rho=\rho(h)).
Integrando ambos os lados:
\int_{\rho_{0}}^{\rho(h)} \frac{d\rho}{\rho^{2}} \;=\; \frac{g}{K}\int_{0}^{h} dh.
Calcule a integral do lado esquerdo:
\int \rho^{-2} d\rho = -\frac{1}{\rho},
portanto
\left[-\frac{1}{\rho}\right]_{\rho_{0}}^{\rho(h)} = \frac{g}{K}\,h.
Isso dá
-\frac{1}{\rho(h)} + \frac{1}{\rho_{0}} = \frac{g}{K}\,h.
Isolando 1/\rho(h):
\frac{1}{\rho(h)} = \frac{1}{\rho_{0}} - \frac{g}{K}\,h.

Passo 6

Resolver para \rho(h) e obter a aproximação linear.
Invertendo a relação obtemos a expressão exata (dada a hipótese de K constante):
\rho(h) = \frac{1}{\dfrac{1}{\rho_{0}} - \dfrac{g}{K}\,h} = \frac{\rho_{0}}{1 - \dfrac{\rho_{0} g}{K}\,h}.
Para profundidades não muito grandes (ou seja, quando o parâmetro adimensional \dfrac{\rho_{0} g}{K}\,h é pequeno), podemos fazer uma expansão em série usando
\frac{1}{1-x}\approx 1+x\quad\text{para }|x|\ll1.
Tomando x=\dfrac{\rho_{0} g}{K}\,h, obtemos a aproximação linear
\rho(h) \approx \rho_{0}\left(1 + \frac{\rho_{0} g}{K}\,h\right) = \rho_{0} + \underbrace{\frac{\rho_{0}^{2} g}{K}}_{b}\,h.
Assim chegamos à forma pedida:
\rho \approx \rho_{0} + b\,h,
com
b = \frac{\rho_{0}^{2} g}{K}.

Passo 7

Comentários finais e condição de validade (como usar isso na prova).
  • A dedução usou apenas duas ideias: definição do módulo volumétrico K e a equação hidrostática dP/dh=\rho g. Juntando-as obtém-se uma equação diferencial integrável.
  • A expressão exata é \rho(h)=\dfrac{1}{1/\rho_{0}-(g/K)h}. A versão linear \rho\approx\rho_{0}+b h é obtida por expansão para pequenas profundidades (ou seja, quando \dfrac{\rho_{0} g}{K}h\ll1).
  • Em provas, se pedirem a aproximação linear, escreva o passo de expansão e indique a condição de validade (pequenas variações de pressão/profundidade).
  • Para lembrar: b cresce com \rho_{0}^{2} e é inversamente proporcional a K (quanto menos compressível a água, menor b).

Resposta

\rho \approx \rho_{0} + \dfrac{\rho_{0}^{2} g}{K}\,h

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