(30 pontos) Considere a EDO
Faça o que se pede:
a) (20 pontos) Determine e classifique, se houver(em), o(s) ponto(s) singulares da EDO e o(s) ponto(s) ordinário(s).
b) (10 pontos) Resolva a EDO, por Série de Potências, em torno de algum ponto ordinário.
b) (10 pontos) Resolva a EDO, por Série de Potências, em torno de algum ponto ordinário.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Enunciado: a EDO
-
Pedidos:
- (a) Determinar e classificar, se houver(em), os pontos singulares e os pontos ordinários da EDO.
- (b) Resolver a EDO por série de potências em torno de algum ponto ordinário.
-
Informações relevantes fornecidas: apenas a equação linear de segunda ordem com coeficiente líder igual a
. Não há outros dados adicionais.
Passo 2
O que significa ponto ordinário e ponto singular (explicação didática e sem pular etapas).
- Considere uma EDO linear de segunda ordem na forma padrão
-
Definição prática que vamos usar:
- Um ponto
é chamado de ponto ordinário se as funções e são analíticas (ou, pelo menos, bem definidas e finitas) em uma vizinhança de . - Se não for um ponto ordinário (isto é, se
ou não forem analíticas em ), então é um ponto singular. Um ponto singular é dito regular (ou singular regular) se e são analíticas em ; caso contrário é singular irregular.
- Um ponto
-
Observação útil: antes de aplicar essas definições, é comum escrever a equação na forma padrão dividindo tudo pelo coeficiente de
. No nosso caso esse coeficiente já é , então não precisamos dividir.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso problema (determinando pontos ordinários / singulares).
- A equação dada já está na forma padrão com
- As funções
e são funções polinomiais (na verdade constantes) e, portanto, são analíticas para todo (na verdade em também). - Conclusão lógica: todo ponto
é um ponto ordinário, porque em qualquer ambas as funções são analíticas. Não existem pontos singulares; logo também não há pontos singulares regulares nem singulares irregulares.
Passo 4
Escolha do ponto para desenvolver a série e por que é válido (motivação prática para a parte (b)).
- Como todo ponto é ordinário podemos escolher qualquer
para desenvolver série de potências. A escolha mais simples e usual é (a série de Maclaurin), porque facilita as contas. - Vamos, então, procurar uma solução na forma de série de potências centrada em
:
onde os
são constantes a determinar. Essa representação significa que assumimos que
pode ser escrita como uma soma infinita de potências de
com coeficientes
.
Passo 5
Derivadas em série e alinhamento de potências (passo técnico importante, explicado devagar).
- Derivando termo a termo, temos
- Queremos somar
e . Para somar séries é conveniente ter as mesmas potências . Façamos mudança de índice em : coloque para que o expoente fique . Assim
- A série de
já está com potências :
Passo 6
Substituição das séries na EDO e obtenção da relação de recorrência (explicando cada passo).
- Substituindo em
obtemos, somando termo a termo,
- Como as duas somas são séries em
, podemos juntar coeficientes de cada . Para toda potência o coeficiente deve ser zero. Isso dá a condição
- Reorganizando:
- Essa é a relação de recorrência que determina todos os
a partir dos dois primeiros coeficientes arbitrários e . Isso faz sentido porque uma EDO linear de segunda ordem tem duas constantes livres (condições iniciais).
Passo 7
Resolver a recorrência separando pares e ímpares (procedimento e justificativas).
-
A relação liga
a . Isso significa que termos de índice par interagem apenas com termos pares, e termos ímpares só com ímpares. Assim podemos tratar os dois casos separadamente. -
Caso dos índices pares: escreva
com . A recorrência fica
Iterando essa relação a partir de
encontra-se o padrão. Vamos ver os primeiros termos:
-
: -
: -
: - Observamos o padrão e podemos formular por indução:
(Verificação rápida: para
dá
. Se a fórmula vale para
, então
logo a fórmula se mantém.)
Passo 8
Resolver a recorrência para os índices ímpares (mesma ideia e resultados).
- Para índices ímpares coloque
. A recorrência fica
- Iterando a partir de
e calculando os primeiros termos: -
: -
:
-
- Padrão (novamente por indução):
Passo 9
Escrever a solução geral como soma das duas séries (mostrar que são cos e sin) e discutir convergência.
- Agora agrupamos termos pares e ímpares na série de
:
- Substituindo as fórmulas dos coeficientes obtidas:
- Cada soma é precisamente a série de Maclaurin das funções trigonométricas conhecidas:
- Portanto a solução geral pode ser escrita na forma fechada
onde
e
são as constantes arbitrárias (equivalentes às condições iniciais
e
).
- Sobre convergência: as séries de
e têm raio de convergência infinito, então a série da solução converge para todo .
Resposta
(a) Todos os pontos são pontos ordinários; não existem pontos singulares.
(b) Solução geral (série de potências centrada em e forma fechada):
(b) Solução geral (série de potências centrada em