(30 pontos) Considere a EDO
\begin{aligned} & \text { fator comum? } \\\ & y^{\prime \prime}+y=0 \text {. } \end{aligned}
Faça o que se pede:
a) (20 pontos) Determine e classifique, se houver(em), o(s) ponto(s) singulares da EDO e o(s) ponto(s) ordinário(s).
b) (10 pontos) Resolva a EDO, por Série de Potências, em torno de algum ponto ordinário.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Enunciado: a EDO
y'' + y = 0
  • Pedidos:
    1. (a) Determinar e classificar, se houver(em), os pontos singulares e os pontos ordinários da EDO.
    2. (b) Resolver a EDO por série de potências em torno de algum ponto ordinário.
  • Informações relevantes fornecidas: apenas a equação linear de segunda ordem com coeficiente líder igual a 1. Não há outros dados adicionais.

Passo 2

O que significa ponto ordinário e ponto singular (explicação didática e sem pular etapas).
  • Considere uma EDO linear de segunda ordem na forma padrão
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = 0.
  • Definição prática que vamos usar:
    • Um ponto x_0 é chamado de ponto ordinário se as funções p(x) e q(x) são analíticas (ou, pelo menos, bem definidas e finitas) em uma vizinhança de x_0.
    • Se não for um ponto ordinário (isto é, se p ou q não forem analíticas em x_0), então x_0 é um ponto singular. Um ponto singular é dito regular (ou singular regular) se (x-x_0)p(x) e (x-x_0)^2 q(x) são analíticas em x_0; caso contrário é singular irregular.
  • Observação útil: antes de aplicar essas definições, é comum escrever a equação na forma padrão dividindo tudo pelo coeficiente de y''. No nosso caso esse coeficiente já é 1, então não precisamos dividir.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso problema (determinando pontos ordinários / singulares).
  • A equação dada já está na forma padrão com
p(x)=0,\qquad q(x)=1.
  • As funções p(x)=0 e q(x)=1 são funções polinomiais (na verdade constantes) e, portanto, são analíticas para todo x\in\mathbb{R} (na verdade em \mathbb{C} também).
  • Conclusão lógica: todo ponto x_0 é um ponto ordinário, porque em qualquer x_0 ambas as funções são analíticas. Não existem pontos singulares; logo também não há pontos singulares regulares nem singulares irregulares.

Passo 4

Escolha do ponto para desenvolver a série e por que é válido (motivação prática para a parte (b)).
  • Como todo ponto é ordinário podemos escolher qualquer x_0 para desenvolver série de potências. A escolha mais simples e usual é x_0=0 (a série de Maclaurin), porque facilita as contas.
  • Vamos, então, procurar uma solução na forma de série de potências centrada em x_0=0:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são constantes a determinar. Essa representação significa que assumimos que y pode ser escrita como uma soma infinita de potências de x com coeficientes a_n.

Passo 5

Derivadas em série e alinhamento de potências (passo técnico importante, explicado devagar).
  • Derivando termo a termo, temos
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1},
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}.
  • Queremos somar y''(x) e y(x). Para somar séries é conveniente ter as mesmas potências x^n. Façamos mudança de índice em y'': coloque n\mapsto n+2 para que o expoente fique x^n. Assim
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}.
  • A série de y(x) já está com potências x^n:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n.

Passo 6

Substituição das séries na EDO e obtenção da relação de recorrência (explicando cada passo).
  • Substituindo em y''+y=0 obtemos, somando termo a termo,
\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n} \;+\; \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \;=\;0.
  • Como as duas somas são séries em x^n, podemos juntar coeficientes de cada x^n. Para toda potência x^n o coeficiente deve ser zero. Isso dá a condição
(n+2)(n+1) a_{n+2} + a_n = 0,\qquad \text{para todo } n\ge 0.
  • Reorganizando:
a_{n+2} = -\dfrac{a_n}{(n+2)(n+1)}.
  • Essa é a relação de recorrência que determina todos os a_n a partir dos dois primeiros coeficientes arbitrários a_0 e a_1. Isso faz sentido porque uma EDO linear de segunda ordem tem duas constantes livres (condições iniciais).

Passo 7

Resolver a recorrência separando pares e ímpares (procedimento e justificativas).
  • A relação liga a_{n+2} a a_n. Isso significa que termos de índice par interagem apenas com termos pares, e termos ímpares só com ímpares. Assim podemos tratar os dois casos separadamente.
  • Caso dos índices pares: escreva n=2m com m\ge 0. A recorrência fica
a_{2m+2} = -\dfrac{a_{2m}}{(2m+2)(2m+1)}.
Iterando essa relação a partir de a_0 encontra-se o padrão. Vamos ver os primeiros termos:
  • m=0: a_2 = -\dfrac{a_0}{2\cdot 1} = -\dfrac{a_0}{2!}.
  • m=1: a_4 = -\dfrac{a_2}{4\cdot 3} = -\dfrac{-a_0/2!}{4\cdot 3} = \dfrac{a_0}{4!}.
  • m=2: a_6 = -\dfrac{a_4}{6\cdot 5} = -\dfrac{a_0/4!}{6\cdot 5} = -\dfrac{a_0}{6!}.
  • Observamos o padrão e podemos formular por indução:
a_{2m} = (-1)^m \dfrac{a_0}{(2m)!},\qquad m\ge 0.
(Verificação rápida: para m=0 a_0. Se a fórmula vale para m, então
a_{2(m+1)} = -\dfrac{a_{2m}}{(2m+2)(2m+1)} = -\dfrac{(-1)^m a_0}{(2m)!\,(2m+2)(2m+1)} = (-1)^{m+1}\dfrac{a_0}{(2(m+1))!},
logo a fórmula se mantém.)

Passo 8

Resolver a recorrência para os índices ímpares (mesma ideia e resultados).
  • Para índices ímpares coloque n=2m+1. A recorrência fica
a_{2m+3} = -\dfrac{a_{2m+1}}{(2m+3)(2m+2)}.
  • Iterando a partir de a_1 e calculando os primeiros termos:
    • m=0: a_3 = -\dfrac{a_1}{3\cdot 2} = -\dfrac{a_1}{3!}.
    • m=1: a_5 = -\dfrac{a_3}{5\cdot 4} = -\dfrac{-a_1/3!}{5\cdot 4} = \dfrac{a_1}{5!}.
  • Padrão (novamente por indução):
a_{2m+1} = (-1)^m \dfrac{a_1}{(2m+1)!},\qquad m\ge 0.

Passo 9

Escrever a solução geral como soma das duas séries (mostrar que são cos e sin) e discutir convergência.
  • Agora agrupamos termos pares e ímpares na série de y:
y(x)=\sum_{m=0}^{\infty} a_{2m} x^{2m} + \sum_{m=0}^{\infty} a_{2m+1} x^{2m+1}.
  • Substituindo as fórmulas dos coeficientes obtidas:
y(x)=a_0 \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \dfrac{x^{2m}}{(2m)!} \;+\; a_1 \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \dfrac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}.
  • Cada soma é precisamente a série de Maclaurin das funções trigonométricas conhecidas:
\sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \dfrac{x^{2m}}{(2m)!} = \cos x,\qquad \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \dfrac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} = \sin x.
  • Portanto a solução geral pode ser escrita na forma fechada
y(x) = a_0 \cos x + a_1 \sin x,
onde a_0 e a_1 são as constantes arbitrárias (equivalentes às condições iniciais y(0) e y'(0)).
  • Sobre convergência: as séries de \cos x e \sin x têm raio de convergência infinito, então a série da solução converge para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) Todos os pontos são pontos ordinários; não existem pontos singulares.
(b) Solução geral (série de potências centrada em 0 e forma fechada):
y(x)=a_0\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^m\dfrac{x^{2m}}{(2m)!}+a_1\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^m\dfrac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}=a_0\cos x + a_1\sin x.

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