\left(x^{2}-4\right) y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+y=0
Faça o que se pede:
a) ( 20 pontos) Determine e classifique, se houver(em), o(s) ponto(s) singulares da EDO.
b) ( 10 pontos) Resolva a EDO, por Série de Potências, em torno do ponto ordinário x=0.
Passo 1
O enunciado dá a EDO
\left(x^{2}-4\right) y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+y=0
e pede duas coisas:
(a) Determinar e classificar, se houver, os pontos singulares da EDO.
(b) Resolver a EDO por Série de Potências em torno do ponto ordinário x=0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
O coeficiente que multiplica y'' é x^{2}-4, que se anula em x=\pm 2.
O ponto em torno do qual se pede a série é x=0.
A partir daqui vamos identificar pontos singulares e depois desenvolver a solução em série centrada em 0.
Passo 2
Como primeiro passo para classificar pontos singulares, coloco a EDO na forma padrão dividindo por \left(x^{2}-4\right) (válido quando \left(x^{2}-4\right)\neq0):
Um ponto x_0 é ponto ordinário se P(x) e Q(x) são analíticos (sem singularidade) em x_0.
Se x_0 é zero do denominador (aqui x=\pm2), verificamos se é um singular regular: isto é, se (x-x_0)P(x) e (x-x_0)^2 Q(x) são analíticos em x_0. Se não forem analíticos, é singular irregular.
Vou aplicar exatamente essa verificação para x=2 e x=-2; e também verificar x=0.
também analítica em x=-2. Logo x=-2 é singular regular.
Verificação em x=0:
Como x=0 não anula x^{2}-4, os coeficientes P(x) e Q(x) são analíticos em 0. Logo x=0 é ponto ordinário.
Resumo (conclusão da classificação): os únicos pontos singulares são x=\pm 2, ambos singulares regulares; x=0 é ponto ordinário. (Observação útil: isso também indica que uma série de potências em torno de 0 terá, no máximo, raio de convergência até a singularidade mais próxima, isto é |x|<2.)
Passo 4
Agora vou resolver por série de potências em torno de x=0. Como x=0 é ponto ordinário, posso procurar solução no formato
y=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n},
onde os coeficientes a_n serão determinados por recorrência. Vou calcular y' e y'' em forma adequada para facilitar a substituição:
y'=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^{n},
Assim a relação de recorrência fica muito simples:
(n+1)^{2}a_{n}-4(n+2)(n+1)a_{n+2}=0,
ou seja, para todo n\ge0
a_{n+2}=\frac{n+1}{4(n+2)}\,a_{n}.
Passo 6
Essa recorrência conecta coeficientes com diferença de índice 2, então as duas sequências (coeficientes de termos de potência par e ímpar) se desacoplam:
Coeficientes pares: a_{2k} obtidos a partir de a_{0}.
Coeficientes ímpares: a_{2k+1} obtidos a partir de a_{1}.
Vou encontrar fórmulas fechadas para cada sequência.
Observação prática e útil para prova: a primeira soma pode ser reconhecida como função elementar conhecida. Use a identidade geradora dos coeficientes centrais:
Portanto uma solução independente (associada a a_0) tem forma fechada simples:
y_{1}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{4}}}.
A segunda série não é tão imediata de reduzir a uma função elementar tão simples na forma apresentada, mas ela define a segunda solução independente em série: