\int_{-3}^{-2}\left(t-\frac{1}{t}\right)^{2} d t

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral definida
\int_{-3}^{-2}\left(t-\frac{1}{t}\right)^{2}dt.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O integrando é \left(t-\dfrac{1}{t}\right)^{2}.
  • O intervalo de integração é [-3,-2].
  • Para todo t em [-3,-2] temos t\neq0, então \dfrac{1}{t} está bem definido nesse intervalo.
  • A missão é obter um número (a área orientada) correspondente ao valor da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado para simplificar a integral. Use a identidade (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 com a=t e b=\dfrac{1}{t}. Assim,
\left(t-\frac{1}{t}\right)^{2}=t^{2}-2\cdot t\cdot\frac{1}{t}+\left(\frac{1}{t}\right)^{2}.
Agora simplificamos os termos: t\cdot\frac{1}{t}=1 e \left(\frac{1}{t}\right)^{2}=\frac{1}{t^{2}}. Logo
\left(t-\frac{1}{t}\right)^{2}=t^{2}-2+\frac{1}{t^{2}}.

Passo 3

Substituímos a expressão expandida na integral e separamos em integrais mais simples:
\int_{-3}^{-2}\left(t^{2}-2+\frac{1}{t^{2}}\right)dt = \int_{-3}^{-2}t^{2}\,dt -2\int_{-3}^{-2}1\,dt +\int_{-3}^{-2}\frac{1}{t^{2}}\,dt.

Passo 4

Vamos achar uma primitiva (antiderivada) de cada termo. Lembra da regra do poder: para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando:
  • Para t^{2}, com n=2: \int t^{2}dt=\dfrac{t^{3}}{3}+C.
  • Para a constante 1: \int 1\,dt=t+C, então \int -2\,dt=-2t+C.
  • Para \dfrac{1}{t^{2}}=t^{-2}, com n=-2: \int t^{-2}dt=\dfrac{t^{-1}}{-1}+C=-\dfrac{1}{t}+C.
Portanto uma primitiva comum (sem escrever +C) é
F(t)=\frac{t^{3}}{3}-2t-\frac{1}{t}.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é F(-2)-F(-3). Vamos calcular F(-2) passo a passo:
F(-2)=\frac{(-2)^{3}}{3}-2(-2)-\frac{1}{-2}.
Calculemos cada termo:
\frac{(-2)^{3}}{3}=\frac{-8}{3},\qquad -2(-2)=4,\qquad -\frac{1}{-2}=+\frac{1}{2}.
Somando:
F(-2)=-\frac{8}{3}+4+\frac{1}{2}.
Para somar frações, colocamos denominador comum 6:
-\frac{8}{3}=-\frac{16}{6},\quad 4=\frac{24}{6},\quad \frac{1}{2}=\frac{3}{6},
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F(-2)=-\frac{16}{6}+\frac{24}{6}+\frac{3}{6}=\frac{11}{6}.

Passo 6

Agora calculamos F(-3) passo a passo:
F(-3)=\frac{(-3)^{3}}{3}-2(-3)-\frac{1}{-3}.
Termo a termo:
\frac{(-3)^{3}}{3}=\frac{-27}{3}=-9,\qquad -2(-3)=6,\qquad -\frac{1}{-3}=+\frac{1}{3}.
Somando:
F(-3)=-9+6+\frac{1}{3}=-3+\frac{1}{3}.
Colocando em fração com denominador 3:
-3+\frac{1}{3}=-\frac{9}{3}+\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}.

Passo 7

Agora fazemos a diferença F(-2)-F(-3):
F(-2)-F(-3)=\frac{11}{6}-\left(-\frac{8}{3}\right)=\frac{11}{6}+\frac{8}{3}.
Colocamos \frac{8}{3} com denominador 6: \frac{8}{3}=\frac{16}{6}. Então
\frac{11}{6}+\frac{16}{6}=\frac{27}{6}.
Simplificando a fração \dfrac{27}{6} por 3 obtemos \dfrac{9}{2}.

Passo 8

Parabéns — chegamos ao resultado numérico final da integral. Fica a dica prática para a prova: sempre que vir \left(t-\dfrac{1}{t}\right)^{2} expanda o quadrado; isso normalmente separa em potências simples que você integra com a regra do poder sem drama.

Resposta

\dfrac{9}{2}

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