Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral definida
Informações dadas e observações iniciais:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
. - Para todo
em temos , então está bem definido nesse intervalo. - A missão é obter um número (a área orientada) correspondente ao valor da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o quadrado para simplificar a integral. Use a identidade
com
e
. Assim,
Agora simplificamos os termos:
e
. Logo
Passo 3
Substituímos a expressão expandida na integral e separamos em integrais mais simples:
Passo 4
Vamos achar uma primitiva (antiderivada) de cada termo. Lembra da regra do poder: para
,
Aplicando:
- Para
, com : . - Para a constante
: , então . - Para
, com : .
Portanto uma primitiva comum (sem escrever
) é
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é
. Vamos calcular
passo a passo:
Calculemos cada termo:
Somando:
Para somar frações, colocamos denominador comum
:
logo
Passo 6
Agora calculamos
passo a passo:
Termo a termo:
Somando:
Colocando em fração com denominador
:
Passo 7
Agora fazemos a diferença
:
Colocamos
com denominador
:
. Então
Simplificando a fração
por
obtemos
.
Passo 8
Parabéns — chegamos ao resultado numérico final da integral. Fica a dica prática para a prova: sempre que vir
expanda o quadrado; isso normalmente separa em potências simples que você integra com a regra do poder sem drama.